【題目】如圖示,A,B分別是橢圓C: (a>b>0)的左右頂點(diǎn),F(xiàn)為其右焦點(diǎn),2是|AF與|FB|的等差中項(xiàng), 是|AF|與|FB|的等比中項(xiàng).點(diǎn)P是橢圓C上異于A、B的任一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作直線l⊥x軸.以線段AF為直徑的圓交直線AP于點(diǎn)A,M,連接FM交直線l于點(diǎn)Q.
(1)求橢圓C的方程;
(2)試問(wèn)在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)N,使得直線PQ必過(guò)該定點(diǎn)N?若存在,求出N點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
解:由題意得|AF|=a+c,|FB|=a﹣c,
即 ,
解得:a=2,c=1,
∴b2=4﹣1=3,
∴所求橢圓的方程為: =1
(2)
解:假設(shè)在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)N(n,0),使得直線PD必過(guò)定點(diǎn)N(n,0),
設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0),由于P點(diǎn)異于A,B,
故y0≠0,且x0≠±2,
由點(diǎn)P在橢圓上,
故有 ,∴ ,①
又由(1)知A(﹣2,0),F(xiàn)(1,0),∴直線AP的斜率 ,
又點(diǎn)M是以線段AF為直徑的圓與直線AP的交點(diǎn),∴AP⊥FM,
∴ ,
∴直線FM的方程:
聯(lián)立FM,l的方程 ,得交點(diǎn)Q(﹣2, ).
∴P、Q兩點(diǎn)連線的斜率 ,②
將①式代入②式,并整理得:kPQ= ,
又P,N兩點(diǎn)連線的斜率 ,
若直線QP必過(guò)定點(diǎn)N(n,0),則必有kPQ=KPN恒成立
即 整理得: ,③
將①式代入③式,得
解得:n=2,
故直線x過(guò)定點(diǎn)(2,0).
【解析】(1)由題意得|AF|=a+c,|FB|=a﹣c,再由2是|AF與|FB|的等差中項(xiàng), 是|AF|與|FB|的等比中項(xiàng),能求出橢圓的方程.(2)假設(shè)在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)N(n,0),使得直線PD必過(guò)定點(diǎn)N(n,0),設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x0 , y0),由點(diǎn)P在橢圓上,求出 ,再求出直線FM的方程,聯(lián)立FM,l的方程,得交點(diǎn)Q,由此能求出直線x過(guò)定點(diǎn)(2,0).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】全集U={﹣1,0,1,2,3,4,5,6 },A={3,4,5 },B={1,3,6 },那么集合{ 2,﹣1,0}是( )
A.
B.
C.UA∩UB
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)P(0,2)和圓C:x2+y2﹣8x+11=0.
(1)求過(guò)點(diǎn)P,點(diǎn)C和原點(diǎn)三點(diǎn)圓的方程;
(2)求以點(diǎn)P為圓心且與圓C外切的圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,若存在x1 , x2∈R,x1≠x2 , 使f(x1)=f(x2)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a、b、c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊.
(1)若△ABC面積S△ABC= ,c=2,A=60°,求a、b的值;
(2)若a=ccosB,且b=csinA,試判斷△ABC的形狀.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一個(gè)摩天輪的半徑為8m,每12min旋轉(zhuǎn)一周,最低點(diǎn)離地面為2m,若摩天輪邊緣某點(diǎn)P從最低點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜷_(kāi)始旋轉(zhuǎn),則點(diǎn)P離地面的距離h(m)與時(shí)間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系是( )
A.h=8cost+10
B.h=﹣8cos t+10
C.h=﹣8sin t+10
D.h=﹣8cos t+10
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列四種說(shuō)法:
①垂直于同一平面的所有向量一定共面;
②在△ABC中,已知 ,則∠A=60°;
③在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC,則A=
④若a>0,b>0,a+b=2,則a2+b2≥2;
正確的序號(hào)有 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,點(diǎn)F1(﹣1,0),F(xiàn)2(1,0),動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F2的距離是 ,線段MF1的中垂線交MF2于點(diǎn)P.
(1)當(dāng)點(diǎn)M變化時(shí),求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡G的方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx+m與軌跡G交于M、N兩點(diǎn),直線F2M與F2N的傾斜角分別為α、β,且α+β=π,求證:直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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