【題目】記無(wú)窮數(shù)列的前n項(xiàng),,…,的最大項(xiàng)為,第n項(xiàng)之后的各項(xiàng),,…的最小項(xiàng)為,.
(1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為,寫(xiě)出,,并求數(shù)列通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為,判斷是否為等差數(shù)列,若是,求出公差;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若數(shù)列為公差大于零的等差數(shù)列,求證:是等差數(shù)列.
【答案】(1),,;(2)是等差數(shù)列,公差;(3)證明見(jiàn)解析.
【解析】
(1)利用和表示出數(shù)列即可;
(2)根據(jù),求出數(shù)列的單調(diào)性,進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式,確定數(shù)列類型;
(3)根據(jù)數(shù)列為公差大于零的等差數(shù)列,可以設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后求出數(shù)列的單調(diào)性,進(jìn)而表示出的通項(xiàng)公式.
(1)由題知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,在時(shí)是單調(diào)遞增數(shù)列,
當(dāng)時(shí),,,
所以,
當(dāng)時(shí),,,
所以,
當(dāng)時(shí),數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列,
所以,,
故,
整理得.
(2)由題知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,
所以數(shù)列是單調(diào)遞減的數(shù)列,且,
由題知,,
因?yàn)?/span>,
故數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,
所以當(dāng)時(shí),,,
故,
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是,
即數(shù)列是等差數(shù)列,公差.
(3)由題知數(shù)列為公差大于零的等差數(shù)列,
故設(shè)且公差,
當(dāng)時(shí),有,
整理得,
若,則有,
故,
因?yàn)?/span>,所以當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
類似的可以證明,
因?yàn)?/span>,
故有,
故數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,
所以當(dāng)時(shí),,,
故,
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是,
即數(shù)列是等差數(shù)列,公差為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線:的焦點(diǎn)為,以為直角頂點(diǎn)的等腰直角的三個(gè)頂點(diǎn),,均在拋物線上.
(1)過(guò)作拋物線的切線,切點(diǎn)為,點(diǎn)到切線的距離為2,求拋物線的方程;
(2)求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】把參加某次鉛球投擲的同學(xué)的成績(jī)(單位:米)進(jìn)行整理,分成以下6個(gè)小組:[5.25,6.15),[6.15,7.05),[7.05,7.95),[7.95,8.85),[8.85,9.75),[9.75,10.65],并繪制出頻率分布直方圖,如圖所示是這個(gè)頻率分布直方圖的一部分.已知從左到右前5個(gè)小組的頻率分別為0.04,0.10,0.14,0.28,0.30,第6小組的頻數(shù)是7.規(guī)定:投擲成績(jī)不小于7.95米的為合格.
(1)求這次鉛球投擲成績(jī)合格的人數(shù);
(2)你認(rèn)為這次鉛球投擲的同學(xué)的成績(jī)的中位數(shù)在第幾組?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若參加這次鉛球投擲的學(xué)生中,有5人的成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀,現(xiàn)在要從成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中,隨機(jī)選出2人參加相關(guān)部門組織的經(jīng)驗(yàn)交流會(huì),已知a、b 兩位同學(xué)的成績(jī)均為優(yōu)秀,求a、b 兩位同學(xué)中至少有1人被選到的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某醫(yī)院體檢中心為回饋大眾,推出優(yōu)惠活動(dòng):對(duì)首次參加體檢的人員,按200元次收費(fèi),并注冊(cè)成為會(huì)員,對(duì)會(huì)員的后續(xù)體檢給予相應(yīng)優(yōu)惠,標(biāo)準(zhǔn)如下:
體檢次序 | 第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次及以上 |
收費(fèi)比例 | 1 | 0.95 | 0.90 | 0.85 | 0.8 |
該體檢中心從所有會(huì)員中隨機(jī)選取了100位對(duì)他們?cè)诒局行膮⒓芋w檢的次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到數(shù)據(jù)如下表:
體檢次數(shù) | 一次 | 兩次 | 三次 | 四次 | 五次及以上 |
頻數(shù) | 60 | 20 | 10 | 5 | 5 |
假設(shè)該體檢中心為顧客體檢一次的成本費(fèi)用為150元,根據(jù)所給數(shù)據(jù),解答下列問(wèn)題:
(1)該體檢中心要從這100人里至少體檢3次的會(huì)員中,按體檢次數(shù)用分層抽樣的方法抽出8人,再?gòu)倪@8人中抽出2人發(fā)放紀(jì)念品,求抽出的2人中恰有1人體檢3次的概率;
(2)若以這100位會(huì)員體檢次數(shù)的頻率分布估計(jì)該體檢中心所有會(huì)員體檢次數(shù)的概率分布,已知該中心本周共接待了1000名顧客參加體檢,試估計(jì)該體檢中心本周所獲利潤(rùn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)=﹣x﹣cos2x+m(sinx﹣cosx)在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞減,則m的取值范圍是____________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的右頂點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)作直線與圓相切,與橢圓交于另一點(diǎn),與右準(zhǔn)線交于點(diǎn).設(shè)直線的斜率為.
(1)用表示橢圓的離心率;
(2)若,求橢圓的離心率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為拋物線C上一點(diǎn),,O為坐標(biāo)原點(diǎn),.
(1)求拋物線C的方程;
(2)設(shè)Q為拋物線C的準(zhǔn)線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F且垂直于OQ的直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn)記,的面積分別為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)記表示中的最小值,設(shè),若函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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