Question

【題目】根據(jù)下列條件求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，3)，且一條漸近線(xiàn)方程為4x＋3y＝0.

(2)P(0,6)與兩個(gè)焦點(diǎn)的連線(xiàn)互相垂直，與兩個(gè)頂點(diǎn)連線(xiàn)的夾角為.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由題意，可設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算即可得到；
（2）由題意可得c=6，a=2，，再由雙曲線(xiàn)的a，b，c的關(guān)系可得b，進(jìn)而得到雙曲線(xiàn)的方程．

試題解析：

(1)∵雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為4x＋3y＝0，

∴可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為－＝λ(λ≠0)．

∵雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴×－＝λ.即λ＝1.

∴所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.

(2)設(shè)F1、F2為雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，依題意，它的焦點(diǎn)在x軸上，

∵PF1⊥PF2，且OP＝6，

∴2c＝F1F2＝2OP＝12，∴c＝6.

又P與兩頂點(diǎn)連線(xiàn)夾角為，

∴a＝|OP|·tan＝2，

∴b2＝c2－a2＝24.

故所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.