Question

【題目】如圖，四棱臺(tái)中，底面是菱形，底面，且60°，，是棱的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）求直線(xiàn)與平面所成線(xiàn)面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）由底面，得，再由底面是菱形，得，利用直線(xiàn)與平面垂直的判定可得平面，進(jìn)一步得到；

（2）設(shè)交于點(diǎn)，依題意，且，得到底面．以為原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系．求出平面的一個(gè)法向量與的坐標(biāo)，再由兩向量所成角的余弦值求解直線(xiàn)與平面所成線(xiàn)面角的正弦值．

（1）因?yàn)?/span>底面，所以

因?yàn)榈酌?/span>是菱形，所以

又，所以平面

又由四棱臺(tái)知，，，，四點(diǎn)共面

所以

（2）如圖，設(shè)交于點(diǎn)，依題意，且，

，且，

又由已知底面，得底面．

以為原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

設(shè)交于點(diǎn)，依題意，且，所以

則，，，，

由，得

因?yàn)?/span>是棱中點(diǎn)，所以

所以，，

設(shè)為平面的法向量

則，取，得

設(shè)直線(xiàn)與平面所成線(xiàn)面角為，則

所以直線(xiàn)與平面所成線(xiàn)面角的正弦值