【題目】已知函數(shù).

（1）求曲線在處的切線方程，并證明：.

（2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，證明：.

【答案】（1）；證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）首先求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及點(diǎn)斜式方程可求切線方程；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值即證.

（2）為方程的兩根，不妨設(shè)，由在上單調(diào)遞增，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，存在，使，由，得，由（1）可得，，然后利用分析法即可證出.

解：（1）因?yàn)?/span>，

所以，， 即切線方程：

下證：，

令

在上單調(diào)遞增，且

所以，在遞減，在遞增，

所以.

所以.

（2），為方程的兩根，

不妨設(shè)，顯然在上單調(diào)遞增.

且所以存在，使

當(dāng)，，遞減；

，，遞增.

由，得，又由（1）知

所以：，

要證：，需證：，即證：

，，即證：.

即：

令

，

在單調(diào)遞增，且.

所以，，在單調(diào)遞增.

所以

所以不等式成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)n，均有成立，則稱(chēng)此數(shù)列為“λ~k”數(shù)列．

（1）若等差數(shù)列是“λ~1”數(shù)列，求λ的值；

（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且an＞0，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）對(duì)于給定的λ，是否存在三個(gè)不同的數(shù)列為“λ~3”數(shù)列，且an≥0?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在處切線的斜率為，判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知是無(wú)窮數(shù)列．給出兩個(gè)性質(zhì)：

①對(duì)于中任意兩項(xiàng)，在中都存在一項(xiàng)，使；

②對(duì)于中任意項(xiàng)，在中都存在兩項(xiàng)．使得．

(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說(shuō)明理由；

(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說(shuō)明理由；

(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)、是拋物線上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線與的斜率之積為，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.

B.以為直徑的圓面積的最小值為

C.直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)

D.點(diǎn)到直線的距離不大于

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了響應(yīng)綠色出行，某市推出了新能源分時(shí)租賃汽車(chē)，并對(duì)該市市民使用新能源租賃汽車(chē)的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，得到有關(guān)數(shù)據(jù)如下表1：

表1

愿意使用新能源租賃汽車(chē)

不愿意使用新能源租賃汽車(chē)

總計(jì)

男性

100

300

女性

400

總計(jì)

400

其中一款新能源分時(shí)租賃汽車(chē)的每次租車(chē)費(fèi)用由行駛里程和用車(chē)時(shí)間兩部分構(gòu)成：行駛里程按1元/公里計(jì)費(fèi)；用車(chē)時(shí)間不超過(guò)30分鐘時(shí)，按0.15元/分鐘計(jì)費(fèi)；超過(guò)30分鐘時(shí)，超出部分按0.20元/分鐘計(jì)費(fèi).已知張先生從家到上班地點(diǎn)15公里，每天上班租用該款汽車(chē)一次，每次的用車(chē)時(shí)間均在20~60分鐘之間，由于堵車(chē)紅綠燈等因素，每次的用車(chē)時(shí)間（分鐘）是一個(gè)隨機(jī)變量.張先生記錄了100次的上班用車(chē)時(shí)間，并統(tǒng)計(jì)出在不同時(shí)間段內(nèi)的頻數(shù)如下表2：

表2

時(shí)間（分鐘）

（20，30]

（30，40]

（40，50]

（50，60]

頻數(shù)

20

40

30

10

（1）請(qǐng)補(bǔ)填表1中的空缺數(shù)據(jù)，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為該市市民對(duì)新能源租賃汽車(chē)的使用態(tài)度與性別有關(guān)；

（2）根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)，將各時(shí)間段發(fā)生的頻率視為概率，以各時(shí)間段的區(qū)間中點(diǎn)值代表該時(shí)間段的取值，試估計(jì)張先生租用一次該款汽車(chē)上班的平均用車(chē)時(shí)間；

（3）若張先生使用滴滴打車(chē)上班，則需要車(chē)費(fèi)27元，試問(wèn)：張先生上班使用滴滴打車(chē)和租用該款汽車(chē)，哪一種更合算?

附：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知，函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是( )

A.若，則的圖象上存在唯一一對(duì)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)

B.存在實(shí)數(shù)使得的圖象上存在兩對(duì)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)

C.不存在實(shí)數(shù)使得的圖象上存在兩對(duì)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)

D.若的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問(wèn)題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)減等寸，雨水、驚蟄、春分、清明日影之和為三丈二尺，前七個(gè)節(jié)氣日影之和為七丈三尺五寸，問(wèn)立夏日影長(zhǎng)為（ ）

A.七尺五寸B.六尺五寸C.五尺五寸D.四尺五寸

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱臺(tái)中，底面是菱形，底面，且60°，，是棱的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成線面角的正弦值.

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