【題目】已知橢圓C: =1過(guò)點(diǎn)A(2,0),B(0,1)兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程及離心率;
(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上,直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N,求證:四邊形ABNM的面積為定值.
【答案】
(1)
解:∵橢圓C: =1過(guò)點(diǎn)A(2,0),B(0,1)兩點(diǎn),
∴a=2,b=1,則 = ,
∴橢圓C的方程為 ,離心率為e=
(2)
證明:如圖,
設(shè)P(x0,y0),則 ,PA所在直線方程為 ,
取x=0,得 ;
,PB所在直線方程為 ,
取y=0,得 .
∴|AN|= ,
|BM|=1﹣ .
∴ = = =
= = .
∴四邊形ABNM的面積為定值2.
【解析】(1)由題意可得a=2,b=1,則 ,則橢圓C的方程可求,離心率為e= ;(2)設(shè)P(x0 , y0),求出PA、PB所在直線方程,得到M,N的坐標(biāo),求得|AN|,|BM|.由 ,結(jié)合P在橢圓上求得四邊形ABNM的面積為定值2.;本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查計(jì)算能力與推理論證能力,是中檔題.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是R上的奇函數(shù).
(Ⅰ)求常數(shù)k的值;
(Ⅱ)若a>1,試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并加以證明;
(Ⅲ)若a=2,且函數(shù)g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在[0,1]上的最小值為1,求實(shí)數(shù)m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)a,b∈Z,若對(duì)任意x≤0,都有(ax+2)(x2+2b)≤0,則a+b=______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓過(guò)點(diǎn),離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為,過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)當(dāng)的面積為時(shí),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】由,,,排列而成的項(xiàng)數(shù)列滿足:每項(xiàng)都大于它之前的所有項(xiàng)或者小于它之前的所有項(xiàng).
()滿足條件的數(shù)列中,寫(xiě)出所有的單調(diào)數(shù)列.
()當(dāng)時(shí),寫(xiě)出所有滿足條件的數(shù)列.
()滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)是多少?并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=4x+3sinx,x∈(-1,1),如果f(1-a)+f(1-a2)<0成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A. (0,1) B. C. D. (-∞,-2)∪(1,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(ax+1)(x≥0,a>0), .
(1)討論函數(shù)y=f(x)-g(x)的單調(diào)性;
(2)若不等式f(x)≥g(x)+1在x∈[0,+∞)時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列A:a1,a2,…,an,定義變換T1,T1將數(shù)列A變換成數(shù)列T1(A):n,a1-1,a2-1,…,an-1.對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列B:b1,b2,…,bm,定義變換T2,T2將數(shù)列B各項(xiàng)從大到小排列,然后去掉所有為零的項(xiàng),得到數(shù)列T2(B).又定義S(B)=2(b1+2b2+…+mbm)+++…+.設(shè)A0是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列,令Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2,…).
(1)如果數(shù)列A0為2,6,4,8,寫(xiě)出數(shù)列A1,A2;
(2)對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列A,證明:S(T1(A))=S(A);
(3)證明:對(duì)于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列A0,存在正整數(shù)K,當(dāng)k≥K時(shí),S(Ak+1)=S(Ak).
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