【題目】已知函數f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是R上的奇函數.
(Ⅰ)求常數k的值;
(Ⅱ)若a>1,試判斷函數f(x)的單調性,并加以證明;
(Ⅲ)若a=2,且函數g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在[0,1]上的最小值為1,求實數m的值.
【答案】(Ⅰ)k=1; (Ⅱ)見解析; (Ⅲ)m=1.
【解析】
(Ⅰ)根據定義域為R上的奇函數滿足f(0)=0,代入即可求得k的值。
(Ⅱ)利用定義法,設出x1、x2,通過做差法判斷與0的大小關系即可證明單調性。
(Ⅲ)將a的值代入表達式,化簡即可得g(x)=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2,利用換元法令t=2x-2-x,由x的范圍求得t的范圍。將x的函數轉化為關于t的二次函數,構造h(t)=(t-m)2+2-m2,討論m的取值范圍,進而利用最小值求得m的值。
(Ⅰ)根據題意,函數f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是R上的奇函數,
則f(0)=k-1=0,解可得k=1,
當k=1時,f(x)=ax-a-x,為奇函數,
故k=1.
(Ⅱ)根據題意,設x1<x2,
f(x1)-f(x2)=(-)-(-)=(-)(1+),
又由x1<x2,
則(-)<0,(1+)>0,
則f(x1)-f(x2)<0,
故函數f(x)為R上的增函數;
(Ⅲ)根據題意,若a=2,則函數g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)
=22x+2-2x-2m(2x-2-x)
=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2,
令t=2x-2-x,又由x∈[0,1],則t∈[0,],
則h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2,t∈[0,],
①,當m≤0時,h(t)min=h(0)=2≠1,不符合題意;
②,當0<m<,h(t)min=h(m)=2-m2=1,
解可得m=±1,
又由0<m<,則m=1;
③,當m≥時,h(t)min=h()=-3m=1,
解可得m=<,不符合題意,
綜合可得:m=1.
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【題目】借助計算機(器)作某些分段函數圖象時,分段函數的表示有時可以利用函數,例如要表示分段函數g(x)=總可以將g(x)表示為g(x)=xh(x-2)+(-x)h(2-x).
(1)設f(x)=(x2-2x+3)h(x-1)+(1-x2)h(1-x),請把函數f(x)寫成分段函數的形式;
(2)已知G(x)=[(3a-1)x+4a]h(1-x)+logaxh(x-1)是R上的減函數,求a的取值范圍;
(3)設F(x)=(x2+x-a+1)h(x-a)+(x2-x+a+1)h(a-x),求函數F(x)的最小值.
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【題目】已知函數f(x)=(k∈R)
(Ⅰ)若該函數是偶函數,求實數k及f(log32)的值;
(Ⅱ)若函數g(x)=x+log3f(x)有零點,求k的取值范圍.
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【題目】已知拋物線關于軸對稱,頂點在坐標原點,直線經過拋物線的焦點.
(1)求拋物線的標準方程;
(2)若不經過坐標原點的直線與拋物線相交于不同的兩點, ,且滿足,證明直線過軸上一定點,并求出點的坐標.
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【題目】已知橢圓C: =1過點A(2,0),B(0,1)兩點.
(1)求橢圓C的方程及離心率;
(2)設P為第三象限內一點且在橢圓C上,直線PA與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N,求證:四邊形ABNM的面積為定值.
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