設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=x2+a|lnx-1|.
(Ⅰ)當(dāng)a=2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(Ⅱ)若x∈[1,+∞)時,不等式f(x)≥a恒成立,實數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)由題意知當(dāng)0<x≤e時,
f′(x)=2x-=,f(x)在(1,e]內(nèi)單調(diào)遞增.當(dāng)x≥e時,
f′(x)=2x+>0恒成立,故f(x)在[e,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.由此可知f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
(2)當(dāng)x≥e時,f(x)=x
2+alnx-a,
f′(x)=2x+(x≥e),f(x)在[e,+∞)上增函數(shù).當(dāng)1≤x<e時,f(x)=x
2-alnx+a,
f′(x)=2x-=(x+)(x-)(1≤x<e)由此可求出答案.
解答:解:(1)當(dāng)a=2時,f(x)=x
2+2|lnx-1|
=
| x2-2lnx+2 (0<x≤e) | x2+2lnx-2 (x>e) |
| |
(2分)
當(dāng)0<x≤e時,
f′(x)=2x-=,
f(x)在(1,e]內(nèi)單調(diào)遞增;
當(dāng)x≥e時,
f′(x)=2x+>0恒成立,
故f(x)在[e,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞).(6分)
(2)①當(dāng)x≥e時,f(x)=x
2+alnx-a,
f′(x)=2x+(x≥e)∵a>0,
∴f′(x)>0恒成立,∴f(x)在[e,+∞)上增函數(shù).
故當(dāng)x=e時,y
min=f(e)=e
2.(8分)
②當(dāng)1≤x<e時,f(x)=x
2-alnx+a,
f′(x)=2x-=(x+)(x-)(1≤x<e)
當(dāng)
≥e,即a≥2e
2時,
f′(x)在x∈(1,e)進為負(fù)數(shù),
所以f(x)在區(qū)間[1,e]上為減函數(shù),
故當(dāng)x=e時,y
min=f(e)=e
2.(14分)
所以函數(shù)y=f(x)的最小值為
ymin=,2<a<2e2.
由條件得
此時0<a≤2;
或
,
此時2<a≤2e;或
,此時無解.
綜上,0<a≤2e.(16分)
點評:本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.