設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=x2+a|lnx-1|.
(Ⅰ)當(dāng)a=2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(Ⅱ)若x∈[1,+∞)時,不等式f(x)≥a恒成立,實數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)由題意知當(dāng)0<x≤e時,f′(x)=2x-
2
x
=
2x2-2
x
,f(x)在(1,e]內(nèi)單調(diào)遞增.當(dāng)x≥e時,f′(x)=2x+
2
x
>0
恒成立,故f(x)在[e,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.由此可知f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
(2)當(dāng)x≥e時,f(x)=x2+alnx-a,f′(x)=2x+
a
x
(x≥e),f(x)在[e,+∞)上增函數(shù).當(dāng)1≤x<e時,f(x)=x2-alnx+a,f′(x)=2x-
a
x
=
2
x
(x+
a
2
)(x-
a
2
)
(1≤x<e)由此可求出答案.
解答:解:(1)當(dāng)a=2時,f(x)=x2+2|lnx-1|
=
x2-2lnx+2  (0<x≤e)
x2+2lnx-2  (x>e)
(2分)
當(dāng)0<x≤e時,f′(x)=2x-
2
x
=
2x2-2
x
,
f(x)在(1,e]內(nèi)單調(diào)遞增;
當(dāng)x≥e時,f′(x)=2x+
2
x
>0
恒成立,
故f(x)在[e,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞).(6分)
(2)①當(dāng)x≥e時,f(x)=x2+alnx-a,
f′(x)=2x+
a
x
(x≥e)∵a>0,
∴f′(x)>0恒成立,∴f(x)在[e,+∞)上增函數(shù).
故當(dāng)x=e時,ymin=f(e)=e2.(8分)
②當(dāng)1≤x<e時,f(x)=x2-alnx+a,
f′(x)=2x-
a
x
=
2
x
(x+
a
2
)(x-
a
2
)
(1≤x<e)
當(dāng)
a
2
≥e
,即a≥2e2時,
f′(x)在x∈(1,e)進為負(fù)數(shù),
所以f(x)在區(qū)間[1,e]上為減函數(shù),
故當(dāng)x=e時,ymin=f(e)=e2.(14分)
所以函數(shù)y=f(x)的最小值為
ymin=
1+a,0<a≤2
3a
2
-
a
2
ln
a
2
e2,a≥2e2
,2<a<2e2

由條件得
1+a≥a
0<a≤2
此時0<a≤2;
3a
2
-
a
2
ln
a
2
≥a
2<a<2e2
,
此時2<a≤2e;或
e2≥a
a≥2e2
,此時無解.
綜上,0<a≤2e.(16分)
點評:本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
練習(xí)冊系列答案
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12
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