Question

設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）=

1

2

x2-(a+1)x+a(1+ln x)．
（1）求曲線y=f（x）在（2，f（2））處與直線y=-x+1垂直的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在（2，f（2））處與直線y=-x+1垂直，求出a的值，從而可得切線方程；
（2）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的極值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

1

2

x2-(a+1)x+a(1+ln x)
∴f′(x)=x-a-1+

a

x

∵曲線y=f（x）在（2，f（2））處與直線y=-x+1垂直
∴2-a-1+

a

2

=1
∴a=0
∴f（x）=

1

2

x2-x
∴f（2）=0
∴所求切線方程為y-0=x-2，即x-y-2=0；
（2）f′(x)=x-a-1+

a

x

=

(x-1)(x-a)

x

（x＞0）
∴a≤0時(shí)，函數(shù)在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在x=1時(shí)，取得極小值-

1

2

；
0＜a＜1時(shí)，函數(shù)在（a，1）上單調(diào)遞減，在（0，a）、（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在x=1時(shí)，取得極小值-

1

2

，在x=a時(shí)，函數(shù)取得極大值-

1

2

a2+alna；
a=1時(shí)，f′（x）≥0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴函數(shù)無(wú)極值；
a＞1時(shí)，函數(shù)在（1，a）上單調(diào)遞減，在（0，1）、（a，+∞）上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在x=1時(shí)，取得極大值-

1

2

，在x=a時(shí)，函數(shù)取得極小值-

1

2

a2+alna．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．