Question

設a＞0，函數(shù)f（x）=x²+a|lnx-1|．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）當x∈[1，+∞）時，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）將a=1代入，對函數(shù)f（x）進行求導得到切線的斜率=f'（1），切點為（1，2），從而得到切線方程．
（2）分x≥e和x＜e兩種情況討論．分別對函數(shù)f（x）進行求導，根據(jù)導函數(shù)的正負判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性后可得到答案．

解答：解（1）當a=1時，f（x）=x²+|lnx-1|
令x=1得f（1）=2，f'（1）=1，所以切點為（1，2），切線的斜率為1，
所以曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為：x-y+1=0．
（2）①當x≥e時，f（x）=x²+alnx-a，f′(x)=2x+

a

x

（x≥e）
∵a＞0，
∴f（x）＞0恒成立．
∴f（x）在[e，+∞）上增函數(shù)．
故當x=e時，y_min=f（e）=e²
②當1≤x＜e時，f（x）=x²-alnx+a，
f′(x)=2x-

a

x

=

2

x

(x+

a 2

)(x-

a 2

)（1≤x＜e）
（i）當

a 2

≤1，即0＜a≤2時，f'（x）在x∈（1，e）時為正數(shù)，
所以f（x）在區(qū)間[1，e）上為增函數(shù)．
故當x=1時，y_min=1+a，且此時f（1）＜f（e）
（ii）當1＜

a 2

＜e，即2＜a＜2e²時，
f'（x）在x∈(1，

a 2

)時為負數(shù)，在間x∈(

a 2 ，e

)時為正數(shù)
所以f（x）在區(qū)間[1，

a 2

)上為減函數(shù)，在(

a 2

，e]上為增函數(shù)
故當x=

a 2

時，ymin=

3a

2

-

a

2

ln

a

2

，
且此時f(

a 2

)＜f(e)
（iii）當

a 2

≥e；即a≥2e²時，
f'（x）在x∈（1，e）時為負數(shù)，
所以f（x）在區(qū)間[1，e]上為減函數(shù)，
當x=e時，y_min=f（e）=e²．
綜上所述，當a≥2e²時，f（x）在x≥e時和1≤x≤e時的最小值都是e²．
所以此時f（x）的最小值為f（e）=e²；
當2＜a＜2e²時，f（x）在x≥e時的最小值為f(

a 2

)=

3a

2

-

a

2

ln

a

2

，
而f(

a 2

)＜f(e)，
所以此時f（x）的最小值為f(

a 2

)=

3a

2

-

a

2

ln

a

2

．
當0＜a≤2時，在x≥e時最小值為e²，在1≤x＜e時的最小值為f（1）=1+a，
而f（1）＜f（e），所以此時f（x）的最小值為f（1）=1+a
所以函數(shù)y=f（x）的最小值為ymin=

1+a，0＜a≤2 3a 2 - a 2 ln a 2 ，2＜a≤2e2 e2，a＞2e2

點評：本題主要考查函數(shù)導數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負之間的關系．當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．