Question

設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)．則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

（0，3]

．

Answer 1

分析：函數(shù)f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)?f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立?a≤3x²在[1，+∞）上恒成立．再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：f′（x）=3x²-a．
∵函數(shù)f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，
∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立；
∴a≤3x²在[1，+∞）上恒成立．
∴a≤3×1²=3，又a＞0，
∴0＜a≤3．
故答案為（0，3]．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、二次函數(shù)的單調(diào)性及其把問題正確等價(jià)轉(zhuǎn)化等是解題的關(guān)鍵．