【題目】已知函數(shù)

(1)求證:函數(shù)f(x)-g(x)必有零點;

(2)設函數(shù)G(x)=f(x)-g(x)-1

①若函數(shù)G(x)有兩相異零點且上是減函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍。

②是否存在整數(shù)a,b使得的解集恰好為若存在,求出a,b的值,若不存在,請說明理由。

【答案】(1)詳見解析;(2)①(﹣∞,0]∪[2,+∞);②.

【解析】

(1)判斷對應方程的△與0的關系,易得結論;

(2)由函數(shù)fx)=mx+3,gx)=x2+2x+m,我們易給出函數(shù)Gx)=fx)﹣gx)﹣1,①若|Gx)|在[﹣1,0]上是減函數(shù),根據(jù)對折變換函數(shù)圖象的特征,我們分△≤0和△>0兩種情況進行討論,可得到滿足條件的m的取值范圍;aGx)≤b的解集恰好是[a,b],則a,b代入消去m,可以求出a,b的值.

證明:(1)fx)﹣gx)=﹣x2+(m﹣2)x+3﹣m

fx)﹣gx)=0.

則△=(m﹣2)2﹣4(m﹣3)=m2﹣8m+16=(m﹣4)2≥0恒成立.

所以方程fx)﹣gx)=0有解.

所以函數(shù)fx)﹣gx)必有零點.

(2)①Gx)=fx)﹣gx)﹣1=﹣x2+(m﹣2)x+2﹣m

Gx)=0,△=(m﹣2)2﹣4(m﹣2)=(m﹣2)(m﹣6).

當△≤0,即2≤m≤6時,Gx)=﹣x2+(m﹣2)x+2﹣m≤0恒成立,

所以|Gx)|=x2﹣(m﹣2)x+m﹣2.

因為|Gx)|在[﹣1,0]上是減函數(shù),所以0.解得m≥2.

所以2≤m≤6.

當△>0,即m<2或m>6時,|Gx)|=|x2﹣(m﹣2)x+m﹣2|.

因為|Gx)|在[﹣1,0]上是減函數(shù),

所以方程x2﹣(m﹣2)x+m﹣2=0的兩根均大于零或一根大于零另一根小于零

x1.

所以

解得m>2或m≤0.

所以m≤0或m>6.

綜上可得,實數(shù)m的取值范圍為(﹣∞,0]∪[2,+∞).

因為aGx)≤b的解集恰好是[a,b],

所以

消去m,得ab﹣2ab=0,顯然b≠2.

所以a1

因為ab均為整數(shù),所以b﹣2=±1或b﹣2=±2.

解得因為ab,且ab

所以

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知極坐標系的極點為直角坐標系xOy的原點,極軸為x軸的正半軸,兩種坐標系中的長度單位相同直線的極坐標方程為,曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù),設直線l與曲線C交于A,B兩點.

寫出直線的普通方程與曲線C的直角坐標方程;

已知點P在曲線C上運動,求點P到直線距離的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓C的焦距為2,左右焦點分別為,,以原點O為圓心,以橢圓C的半短軸長為半徑的圓與直線相切.

求橢圓C的方程;

設不過原點的直線l與橢圓C交于AB兩點.

若直線的斜率分別為,,且,求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標;

若直線l的斜率是直線OA,OB斜率的等比中項,求面積的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,橢圓 的左右焦點分別為的、,離心率為;過拋物線焦點的直線交拋物線于、兩點,當時, 點在軸上的射影為。連結并延長分別交、兩點,連接 的面積分別記為 ,設.

)求橢圓和拋物線的方程;

)求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在直三棱柱中, 分別是棱的中點,點棱上,且, , .

(1)求證: 平面;

(2)當時,求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知某幾何體直觀圖和三視圖如圖所示,其正視圖為矩形,側視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.

1)求證: ;

2;

3中點,在邊上找一點,使//平面并求.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知是等差數(shù)列,滿足, ,數(shù)列滿足, ,且是等比數(shù)列.

1)求數(shù)列的通項公式;

2)求數(shù)列的前項和.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某校為了解學生對正在進行的一項教學改革的態(tài)度,從500名高一學生和400名高二學生中按分層抽樣的方式抽取了45名學生進行問卷調(diào)查,結果可以分成以下三類:支持、反對、無所謂,調(diào)查結果統(tǒng)計如下:

(1)(i)求出表中的的值;

(ii)從反對的同學中隨機選取2人進一步了解情況,求恰好高一、高二各1人的概率;

(2)根據(jù)表格統(tǒng)計的數(shù)據(jù),完成下面的的列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為持支持與就讀年級有關.(不支持包括無所謂和反對)

附:,其中.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】7位歌手(17號)參加一場歌唱比賽,由500名大眾評委現(xiàn)場投票決定歌手名次.根據(jù)年齡將大眾評委分為五組,各組的人數(shù)如下:

組別

A

B

C

D

E

人數(shù)

50

100

150

150

50

1)為了調(diào)查評委對7位歌手的支持情況,現(xiàn)用分層抽樣方法從各組中抽取若干評委,其中從B組抽取了6人,請將其余各組抽取的人數(shù)填入下表.

組別

A

B

C

D

E

人數(shù)

50

100

150

150

50

抽取人數(shù)


6




2)在(1)中,若AB兩組被抽到的評委中各有2人支持1號歌手,現(xiàn)從這兩組被抽到的評委中分別任選1人,求這2人都支持1號歌手的概率.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案