Question

從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)

.

x

和樣本方差s²（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（Ⅱ）由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N（μ，σ²），其中μ近似為樣本平均數(shù)

.

x

，σ²近似為樣本方差s²．
（i）利用該正態(tài)分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間（187.8，212.2）的產(chǎn)品件數(shù)，利用（i）的結(jié)果，求EX．
附：

150

≈12.2．
若Z-N（μ，σ²）則P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．

Answer 1

考點(diǎn)：正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）運(yùn)用離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式，即可求出；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），從而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意運(yùn)用所給數(shù)據(jù)；
（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），運(yùn)用EX=np即可求得．

解答： 解：（Ⅰ）抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)

.

x

和樣本方差s²分別為：

.

x

=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，
s²=（-30）²×0.02+（-20）²×0.09+（-10）²×0.22+0×0.33+10²×0.24+20²×0.08+30²×0.02=150．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），從而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200-12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；
（ii）由（i）知一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間（187.8，212.2）的概率為0.6826，
依題意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差，以及正態(tài)分布的特點(diǎn)及概率求解，考查運(yùn)算能力．