試題分析:本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、通項公式及其性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查學生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力.第一問,在數(shù)列
的所有項中任意抽取幾項,令其構(gòu)成等比數(shù)列即可,但是至少抽取3項;第二問,分2種情況進行討論:
和
,利用數(shù)列的單調(diào)性,先假設存在,在推導過程中找出矛盾即可.
試題解析:(1)
(若只寫出2,8,32三項也給滿分). 4分
(2)證明:假設能抽出一個子列為無窮等差數(shù)列,設為
,通項公式為
.因為
所以
.
(1)當
時,
∈(0,1],且數(shù)列
是遞減數(shù)列,
所以
也為遞減數(shù)列且
∈(0,1],
,
令
,得
,
即存在
使得
,這與
∈(0,1]矛盾.
(2)當
時,
≥1,數(shù)列
是遞增數(shù)列,
所以
也為遞增數(shù)列且
≥1,
.
因為d為正的常數(shù),且
,
所以存在正整數(shù)m使得
.
令
,則
,
因為
=
,
所以
,即
,但這與
矛盾,說明假設不成立.
綜上,所以數(shù)列
不存在是無窮等差數(shù)列的子列. 13分