Question

【題目】已知橢圓C： 的右焦點F（ ），過點F作平行于y軸的直線截橢圓C所得的弦長為 ． （Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過點（1，0）的直線l交橢圓C于P，Q兩點，N點在直線x=﹣1上，若△NPQ是等邊三角形，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 設橢圓C的焦半距為c，則c= ，于是a2﹣b2=6． 把x=c代入橢圓的標準方程可得： =1，整理得y2=b2（1﹣ ）= ，解得y= ，
∴ = ，即a2=2b4 ，
∴2b4﹣b2﹣6=0，解得b2=2，或b2=﹣ （舍去），進而a2=8，
∴橢圓C的標準方程為 =1．
（Ⅱ）設直線PQ：x=ty+1，P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）．
聯(lián)立直線與橢圓方程： ，消去x得：（t2+4）y2+2ty﹣7=0，
∴y1+y2=﹣ ，y1y2= ．
于是x1+x2=t（y1+y2）+2= ，
故線段PQ的中點D ．
設N（﹣1，y0），由|NP|=|NQ|，則kNDkPQ=﹣1，
即 =﹣t，整理得y0=t+ ，得N ．
又△NPQ是等邊三角形，
∴|ND|= |PQ|，即 ，
即 + = ，
整理得 = ，
解得 t2=10，t= ，
∴直線l的方程是x ﹣1=0
【解析】（Ⅰ） 設橢圓C的焦半距為c，則c= ，于是a2﹣b2=6．把x=c代入橢圓的標準方程可得：y= ，即 = ，聯(lián)立解出即可得出．（Ⅱ）設直線PQ：x=ty+1，P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）．聯(lián)立直線與橢圓方程可得：（t2+4）y2+2ty﹣7=0，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系、中點坐標公式、等邊三角形的性質(zhì)即可得出．
【考點精析】通過靈活運用橢圓的標準方程，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：即可以解答此題．