Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣k（x﹣1）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；并證明lnx+ ≥2（e為自然對數(shù)的底數(shù)）恒成立；
（2）若函數(shù)f（x）的一個零點為x1（x1＞1），f'（x）的一個零點為x0 ， 是否存在實數(shù)k，使 =k，若存在，求出所有滿足條件的k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）=lnx+1﹣k，

x∈（0，ek﹣1）時，f′（x）＜0，此時h（x）遞減，

x∈（ek﹣1，+∞）時，f′（x）＞0，此時h（x）遞增，

令k=2，則f（x）=xlnx﹣2（x﹣1），

故x=e時，f（x）有最小值是f（e），

故f（x）=xlnx﹣2（x﹣1）≥f（e）=2﹣e，

即lnx+ ≥2恒成立；

（2）解：由題意得：x1lnx1﹣k（x1﹣1）=0，

lnx0+1﹣k=0，

假設(shè)存在k，使得 =k，（k＞0）成立，

消元得：ek﹣1lnk﹣ek﹣1+1=0，

設(shè)m（k）=ek﹣1lnk﹣ek﹣1+1，

則m′（k）=ek﹣1（lnk+ ﹣1），

設(shè)F（k）=lnk+ ﹣1，

則F′（x）= ﹣ ，

k∈（0，1）時，F(xiàn)′（x）＜0，即此時函數(shù)F（k）遞減，

k∈（1，+∞）時，F(xiàn)′（x）＞0，此時函數(shù)F（k）遞增，

∴F（k）≥F（1）=0，

∴m′（k）＞0，

故函數(shù)m（k）在（0，+∞）遞增，

∵m（1）=0，∴k=1，

但k=1時，x1=ek1k=1，與已知x1＞1矛盾，

故k不存在

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，令k=2，則f（x）=xlnx﹣2（x﹣1），得到f（x）≥f（e），證出結(jié)論即可；（2）假設(shè)存在k，使得 =k，（k＞0）成立，得到m（k）=ek﹣1lnk﹣ek﹣1+1，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)F（k）=lnk+ ﹣1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證出矛盾即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．