【題目】已知圓: 和點(diǎn),動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切,圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)點(diǎn)是曲線與軸正半軸的交點(diǎn),點(diǎn), 在曲線上,若直線, 的斜率分別是, ,滿足,求面積的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】試題分析:(1)分析條件可得圓心滿足條件>,從而可得曲線E是M,N為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓,可得橢圓的方程;(2)設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程消去x整理得到關(guān)于y的方程,進(jìn)一步可得
,由可求得,從而,從而
可得 ,從而可得三角形面積的最大值。
試題解析:
(1)由題意得圓的圓心為,半徑為,
點(diǎn)在圓內(nèi),因?yàn)閯?dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切,所以動(dòng)圓與圓內(nèi)切。
設(shè)動(dòng)圓半徑為,則 .
因?yàn)閯?dòng)圓經(jīng)過點(diǎn),所以, >,
所以曲線E是M,N為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓.
設(shè)橢圓的方程為
則,
∴,
∴曲線的方程為.
(2)當(dāng)直線的斜率為0時(shí),不合題意;
設(shè)直線的方程為,
由消去x整理得,
設(shè),
則,
由條件得點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,0),
∵,
∴
=.且,
∴,
解得,
故直線BC過定點(diǎn)(2,0),
由,解得,
∴ ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。
綜上面積的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,⊙O與⊙O′相交于A、B兩點(diǎn),過A引直線CD,EF分別交兩圓于點(diǎn)C、D、E、F,EC與DF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,求證:∠P+∠CBD=180°.
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【題目】設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)滿足.
(Ⅰ) 求橢圓的離心率;
(Ⅱ) 設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn),若直線與圓相交于,兩點(diǎn),且,求橢圓的方程.
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【題目】如圖所示,在梯形BCDE中,BC∥DE,BA⊥DE,且EA=DA=AB=2CB=2,沿AB將四邊形ABCD折起,使得平面ABCD與平面ABE垂直,M為CE的中點(diǎn).
(1)求證:AM⊥BE;
(2)求三棱錐C﹣BED的體積.
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【題目】設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和, .
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求的通項(xiàng);
(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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【題目】如圖,三棱柱中,側(cè)棱平面, 為等腰直角三角形, , , 分別是, 的中點(diǎn),且.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)若,求點(diǎn)到平面的距離 .
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【題目】某車間計(jì)劃每天生產(chǎn)卡車模型、賽車模型、小汽車模型這三種玩具共100個(gè),已知生產(chǎn)一個(gè)卡車模型需5分鐘,生產(chǎn)一個(gè)賽車模型需7分鐘,生產(chǎn)一個(gè)小汽車模型需4分鐘,且生產(chǎn)一個(gè)卡車模型可獲利潤(rùn)8元,生產(chǎn)一個(gè)賽車模型可獲利潤(rùn)9元,生產(chǎn)一個(gè)小汽車模型可獲利潤(rùn)6元.若總生產(chǎn)時(shí)間不超過10小時(shí),該公司合理分配生產(chǎn)任務(wù)使每天的利潤(rùn)最大,則最大利潤(rùn)是______________元.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知公差大于零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列是等差數(shù)列,且,求非零常數(shù)的值.
(3)設(shè),為數(shù)列的前項(xiàng)和,是否存在正整數(shù),使得對(duì)任意的均成立?若存在,求出的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】已知函數(shù)
(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求的取值范圍;
(2)若函數(shù)的圖象與直線相切,求的值.
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