Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x²-2x+2a）（a＞0且a≠1）的定義域為[0，1]．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)a，使得對任意的x∈[0，1]，關(guān)于x的不等式f（x）≥

5x-1

都成立？若存在，求出a的所有可能取值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令g（x）=x²-2x+2a（a＞0且a≠1），依題意，由

g(0)=a＞0 g(1)=2a-1＞0

即可求得實數(shù)a的取值范圍；
（2）假設(shè)存在在實數(shù)a，使得對任意的x∈[0，1]，關(guān)于x的不等式f（x）≥

5x-1

都成立，可得[log_a（x²-2x+2a）]_min≥(

5x-1

)max恒成立，通過對a＞1與

1

2

＜a＜1兩類討論，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可判知這樣的實數(shù)a不存在．

解答： 解：（1）令g（x）=x²-2x+2a（a＞0且a≠1），則y=g（x）的對稱軸為x=1，
∵函數(shù)f（x）=log_a（x²-2x+2a）（a＞0且a≠1）的定義域為[0，1]，
∴

g(0)=a＞0 g(1)=2a-1＞0

，解得：a＞

1

2

，又a≠1，
∴實數(shù)a的取值范圍為（

1

2

，1）∪（1，+∞）；
（2）假設(shè)存在在實數(shù)a，使得對任意的x∈[0，1]，關(guān)于x的不等式f（x）≥

5x-1

都成立．
∵?x∈[0，1]，不等式f（x）=log_a（x²-2x+2a）≥

5x-1

恒成立，
∴[log_a（x²-2x+2a）]_min≥(

5x-1

)max恒成立，
又當x∈[0，1]時，y=

5x-1

為增函數(shù)，
∴(

5x-1

)max=

51-1

=2，
若a＞1，[log_a（x²-2x+2a）]_min=log_a（2a-1）≥2恒成立?a²-2a+1=（a-1）²≤0恒成立，與（a-1）²＞0矛盾，即a＞1時不成立；
若

1

2

＜a＜1，同理可得，[log_a（x²-2x+2a）]_min=log_a2a≥2恒成立?2a≤a²，解得a≥2或a≤0，這與

1

2

＜a＜1矛盾，即

1

2

＜a＜1時不成立；
綜上所述，這樣的實數(shù)a不存在．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、反證法的應(yīng)用，考查等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想與綜合運算能力，屬于難題．