Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-x²+1．
（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為4x-y+b=0，求實(shí)數(shù)a和b的值；
（2）求證；f（x）≤0對(duì)任意x＞0恒成立的充要條件是a=2；
（3）若a＜0，且對(duì)任意x₁、x₂∈（0，+∞），都|f（x₁）-f（x₂）|≥|x₁-x₂|，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求實(shí)數(shù)a和b的值；
（2）根據(jù)充要條件的定義即可證明對(duì)任意x＞0恒成立的充要條件是a=2；
（3）利用不等式恒成立結(jié)合導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）f′（x）=

a

x

-2x，（x＞0），f′（1）=a-2，
又f（1）=0，
所以曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y=（a-2）（x-1），即（a-2）x-y+2-a=0，
由已知得a-2=4，2-a=b，所以a=6，b=-4．…（2分）
（2）充分性
當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2lnx-x²+1，f′（x）=

2

x

-2x=

2(1-x2)

x

，（x＞0），
當(dāng)0＜x＜1，時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，
函數(shù)f（x）的最大值為f（1）=0；…（4分）
必要性
f′（x）=

a

x

-2x=

a-2x2

x

，（x＞0），
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，而f（1）=0，
故0＜x＜1時(shí)，f（x）＞0，與f（x）≤0恒成立矛盾，所以a≤0不成立
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=

2

x

(

a 2

+x)(

a 2

-x)，x＞0，
當(dāng)0＜x＜

a 2

時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞

a 2

時(shí)，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，

a 2

）上是增函數(shù)，在（

a 2

，+∞）上是減函數(shù)，
函數(shù)的最大值為f（

a 2

）=

1

2

ln

a

2

-

a

2

+1；
因?yàn)閒（1）=0，又當(dāng)a≠2時(shí)，

a 2

≠1，f（

a 2

）＞f（1）=0與f（

a 2

）=0恒成立不符．
所以a=2．
綜上，f（x）≤0對(duì)任意x＞0恒成立的充要條件是a=2，9分）
（3）當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)…（10分）
不妨設(shè)且0＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）|=f（x₁）-f（x₂），|x₁-x₂|=x₂-x₁，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≥|x₁-x₂|，等價(jià)于f（x₁）-f（x₂）≥x₂-x₁，
即f（x₁）+x₁≥f（x₂）+x₂，
令g（x）=f（x）+x=alnx-x²+x+1，則g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，…（12分）
∵g′（x）=

a

x

-2x+1=

-2x2+x+a

x

＜0，x＞0，
∴-2x²+x+a＜0在x＞0時(shí)恒成立，
即a＜2x²-x=2（x-

1

4

）²-

1

8

，
∵x＞0，∴2（x-

1

4

）²-

1

8

≥-

1

8

，
故a≤-

1

8

，
故a的取值范圍是（-∞，-

1

8

]…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù) 的幾何意義，綜合性較強(qiáng)運(yùn)算量較大．