Question

【題目】請(qǐng)解答以下問(wèn)題，要求解決兩個(gè)問(wèn)題的方法不同.

（1）如圖1，要在一個(gè)半徑為1米的半圓形鐵板中截取一塊面積最大的矩形，如何截��？并求出這個(gè)最大矩形的面積.

（2）如圖2，要在一個(gè)長(zhǎng)半軸為2米，短半軸為1米的半個(gè)橢圓鐵板中截取一塊面積最大的矩形，如何截��？并求出這個(gè)最大矩形的面積.

Answer 1

【答案】（1），面積最大為1（2），，面積最大值為2

【解析】

（1）通過(guò)設(shè)出∠BOC＝α，進(jìn)而用α表示出OB，BC；最后表示出S利用三角函數(shù)即可求解；

（2）通過(guò)設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)（m，n），進(jìn)而表示出OB＝m，BC＝n，S＝2mn；再利用點(diǎn)C為橢圓上的點(diǎn)，即滿(mǎn)足其方程利用基本不等式求解即可；

（1）設(shè)∠BOC＝α，（）；

∴OB＝cosα，BC＝sinα；

∵S＝2OBBC，

∴S═2sinαcosα＝sin2α；

∴當(dāng)時(shí)，即OA時(shí)，矩形面積最大為1；

（2）依題意可得：橢圓方程為：；

設(shè)：點(diǎn)C坐標(biāo)為（m，n）即：OB＝m，BC＝n；

∴S＝2OBBC＝2mn；

∵點(diǎn)C為橢圓上的點(diǎn)；

∴；

∵；

∴mn≤1，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；

∴S≤2；即矩形面積最大為2；當(dāng)OB，即時(shí)取等號(hào)；