Question

【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn)P（2，1）．

（1）求橢圓C的方程，并求其離心率；

（2）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l，設(shè)點(diǎn)A為第四象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上（點(diǎn)A不在直線l上），點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為A'，直線A'P與C交于另一點(diǎn)B．設(shè)O為原點(diǎn)，判斷直線AB與直線OP的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）將點(diǎn)代入橢圓方程，求出，結(jié)合離心率公式即可求得橢圓的離心率；（2）設(shè)直線，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，分別求出，，根據(jù)斜率公式，以及兩直線的位置關(guān)系與斜率的關(guān)系即可得結(jié)果.

（1）由橢圓方程橢圓過(guò)點(diǎn)P（2，1），可得．

所以，

所以橢圓C的方程為+=1，離心率e==，

（2）直線AB與直線OP平行．證明如下：

設(shè)直線，，

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x1，y1），B（x2，y2），

由得，

∴，∴

同理，所以，

由，

有，

因?yàn)?/span>A在第四象限，所以，且A不在直線OP上．

∴，

又，故，

所以直線與直線平行．