【題目】設(shè)是定義域?yàn)?/span>的函數(shù),對(duì)任意,都滿足:,,且當(dāng)時(shí),.

1)請(qǐng)指出在區(qū)間上的奇偶性、單調(diào)區(qū)間、零點(diǎn);

2)試證明是周期函數(shù),并求其在區(qū)間)上的解析式;

3)方程有三個(gè)不等根,求的取值范圍.

【答案】1)偶函數(shù),上遞減,上遞增,零點(diǎn);(2)證明見解析,,;(3.

【解析】

根據(jù),可推出函數(shù)為偶函數(shù),即可求出(2)由可推出周期為2,根據(jù)周期及奇偶性可求出函數(shù)在上的解析式(3)在一個(gè)周期內(nèi)研究即可,利用導(dǎo)數(shù)求出直線相切時(shí)的截距,過點(diǎn)時(shí)直線的截距,即可求出方程有3個(gè)不等實(shí)根時(shí)的取值范圍.

因?yàn)?/span>,

所以,

所以,函數(shù)為定義域R上的偶函數(shù),

在區(qū)間上是偶函數(shù),在是遞減區(qū)間,是遞增區(qū)間,零點(diǎn)是0.

因?yàn)?/span>

所以,

故函數(shù)是周期為2的周期函數(shù).

設(shè),則,

所以,

又函數(shù)是偶函數(shù),且周期為2,

所以,

,.

3)當(dāng)時(shí),,

周期內(nèi),當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),即時(shí),直線與函數(shù)2個(gè)交點(diǎn),方程有兩個(gè)不等的實(shí)根,向下平移直線時(shí),與函數(shù)3個(gè)交點(diǎn),當(dāng)直線)相切時(shí),有2個(gè)交點(diǎn),

此時(shí),由得:

因?yàn)橄嗲,所?/span>

解得,

故當(dāng)時(shí),直線的圖象有3個(gè)交點(diǎn),即3個(gè)不等的實(shí)根.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】函數(shù) 部分圖象如圖所示.

(1)求的最小正周期及解析式;

(2)設(shè),求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)fx)=2xgx)=x2ax(其中aR.對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,設(shè)m,n,現(xiàn)有如下命題:

對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,都有m0;

對(duì)于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,都有n0;

對(duì)于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù)x1x2,使得mn

對(duì)于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,使得m=-n.

其中真命題有___________________(寫出所有真命題的序號(hào)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若曲線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,在平面直角坐標(biāo)系中,直線經(jīng)過點(diǎn),且傾斜角為.

(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程以及點(diǎn)的直角坐標(biāo);

(2)設(shè)直線與曲線相交于,兩點(diǎn),求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的定義域;

(2)若判斷的奇偶性;

(3)是否存在實(shí)數(shù)使函數(shù)[2,3]遞增,并且最大值為1,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓過點(diǎn)P2,1).

1)求橢圓C的方程,并求其離心率;

2)過點(diǎn)Px軸的垂線l,設(shè)點(diǎn)A為第四象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上(點(diǎn)A不在直線l上),點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為A',直線A'PC交于另一點(diǎn)B.設(shè)O為原點(diǎn),判斷直線AB與直線OP的位置關(guān)系,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列滿足:,且、成等差數(shù)列,其中.

1)求實(shí)數(shù)的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式;

2)若數(shù)列滿足等式:),求數(shù)列的前項(xiàng)和;

3)在(2)的條件下,問:是否存在這樣的正數(shù),可以確保恰有5個(gè)自然數(shù)使得不等式成立?若存在,求的取值范圍,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若無窮數(shù)列滿足對(duì)所有正整數(shù)成立,則稱數(shù)列,現(xiàn)已知數(shù)列是“數(shù)列”.

1)若,求的值;

2)若對(duì)所有成立,且存在使得,求的所有可能值,并求出相應(yīng)的的通項(xiàng)公式;

3)數(shù)列滿足,證明:是等比數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)是等差數(shù)列。

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【題目】2022年北京冬奧會(huì)的申辦成功與“3億人上冰雪”口號(hào)的提出,將冰雪這個(gè)冷項(xiàng)目迅速炒“熱”.北京某綜合大學(xué)計(jì)劃在一年級(jí)開設(shè)冰球課程,為了解學(xué)生對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)的興趣,隨機(jī)從該校一年級(jí)學(xué)生中抽取了100人進(jìn)行調(diào)查,其中女生中對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)有興趣的占,而男生有10人表示對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)沒有興趣額.

(1)完成列聯(lián)表,并回答能否有的把握認(rèn)為“對(duì)冰球是否有興趣與性別有關(guān)”?

有興趣

沒興趣

合計(jì)

55

合計(jì)

(2)已知在被調(diào)查的女生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生,其中3名對(duì)冰球有興趣,現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,求至少有2人對(duì)冰球有興趣的概率.

附表:

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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