Question

（12分）已知橢圓C：的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線與以橢圓C的右焦點為圓心，以為半徑的圓相切．

（1）求橢圓的方程．

（2）若過橢圓的右焦點作直線交橢圓于兩點，交y軸于點，且求證：為定值

Answer 1

（1），（2）

【解析】

試題分析：（1）由題意圓的方程可設為，利用圓心到直線的距離為再由焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形即b=c即可解決；（2）與圓錐曲線相關(guān)的最值、范圍問題綜合性較強，解決的思路有兩種：一是由題目中的限制條件求范圍，如直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中Δ的范圍，方程中變量的范圍，角度的大小等；二是將要討論的幾何量如長度、面積、代數(shù)式等用參數(shù)表示出來，再對表達式進行討論，應用不等式、三角函數(shù)等知識求最值，在解題過程中注意向量，不等式的應用

試題解析：（1）由題意：以橢圓C的右焦點為圓心，以為半徑的圓的方程為,

∴圓心到直線的距離 ①

∵橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形， b=c,代入①式得b=1

∴ 故所求橢圓方程為 4分

（2）由題意：直線的斜率存在，所以設直線方程為,則

將直線方程代入橢圓方程得： 6分

設，則 ① 8分

由∴

即： 10分

==-4 ∴ 12分

考點：橢圓及其綜合應用