【題目】如圖所示,在四棱錐P—ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等邊三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4.
(1)設(shè)M是PC上的一點,求證:平面MBD⊥平面PAD;
(2)求四棱錐P-ABCD的體積.
【答案】(1)證明見解析;(2) 16.
【解析】試題分析:
(1)證得AD⊥BD,而面PAD⊥面ABCD,∴BD⊥面PAD,∴面MBD⊥面PAD.
(2)作輔助線PO⊥AD,則PO為四棱錐P—ABCD的高,求得S四邊形ABCD=24.∴VP—ABCD=16.
試題解析:
(1)證明:在△ABD中,∵AD=4,BD=8,AB=4,∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD.
又∵面PAD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD,BD面ABCD,∴BD⊥面PAD.
又BD面BDM,∴面MBD⊥面PAD.
(2)解:過P作PO⊥AD,
∵面PAD⊥面ABCD,∴PO⊥面ABCD,即PO為四棱錐P—ABCD的高.
又△PAD是邊長為4的等邊三角形,∴PO=2.
在底面四邊形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC,∴四邊形ABCD為梯形.
在Rt△ADB中,斜邊AB邊上的高為=,此即為梯形的高.
∴S四邊形ABCD=×=24.
∴VP—ABCD=×24×2=16.
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【題目】已知函數(shù)在處的切線經(jīng)過點
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某學(xué)校要用甲、乙、丙三輛校車把教職工從老校區(qū)接到校本部,已知從老校區(qū)到校本部有兩條公路,校車走公路①時堵車的概率為,校車走公路②時堵車的概率為p.若甲、乙兩輛校車走公路①,丙校車由于其他原因走公路②,且三輛校車是否堵車相互之間沒有影響.
(1)若三輛校車中恰有一輛校車被堵的概率為,求走公路②堵車的概率;
(2)在(1)的條件下,求三輛校車中被堵車輛的輛數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知橢圓:的右焦點為,且點在橢圓上.
⑴求橢圓的標準方程;
⑵已知動直線過點且與橢圓交于兩點.試問軸上是否存在定點,使得恒成立?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)當時,求函數(shù)切線斜率中的最大值;
(Ⅱ)若關(guān)于的方程有解,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】【選修4-4:坐標系與參數(shù)方程】
在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知曲線的極坐標方程為.傾斜角為,且經(jīng)過定點的直線與曲線交于兩點.
(Ⅰ)寫出直線的參數(shù)方程的標準形式,并求曲線的直角坐標方程;
(Ⅱ)求的值.
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【題目】如圖,在多面體中, 平面, 平面,且是邊長為4的等邊三角形, , 與平面所成角的余弦值為, 是線段上一點.
(Ⅰ)若是線段的中點,證明:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的平面角的正弦值.
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【題目】如圖,P是直線x=4上一動點,以P為圓心的圓Γ經(jīng)定點B(1,0),直線l是圓Γ在點B處的切線,過A(﹣1,0)作圓Γ的兩條切線分別與l交于E,F(xiàn)兩點.
(1)求證:|EA|+|EB|為定值;
(2)設(shè)直線l交直線x=4于點Q,證明:|EB||FQ|=|BF|EQ|.
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