Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩定點(diǎn)、，⊙C的方程為．當(dāng)⊙C的半徑取最小值時(shí)：

（1）求出此時(shí)m的值，并寫(xiě)出⊙C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）在x軸上是否存在異于點(diǎn)E的另外一個(gè)點(diǎn)F，使得對(duì)于⊙C上任意一點(diǎn)P，總有為定值？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明你的理由；

（3）在第（2）問(wèn)的條件下，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】試題分析：（1）把一般方程化為標(biāo)注形式，由二次函數(shù)最值得；（2）由于λ取值與x無(wú)關(guān)，則對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)成比例;(3) 在第（2）問(wèn)的條件下， ，利用對(duì)勾函數(shù)求最值.

試題解析：

（1）⊙C的標(biāo)準(zhǔn)式為： ，

當(dāng)時(shí)，⊙C的半徑取最小值，此時(shí)⊙C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)，定點(diǎn)（m為常數(shù)），則．

∵，∴，代入上式，

得： ．

由于λ取值與x無(wú)關(guān)，∴（舍去）．

此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為， 即；

（3）

由上問(wèn)可知對(duì)于⊙C上任意一點(diǎn)P總有，

故，

而（當(dāng)P、F、G三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），

又，故．

∴

，

令，則，

根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得： ．