Question

【題目】設(shè)，函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)，若有兩個相異極值點，，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出導函數(shù)，求出函數(shù)定義域，分類討論，由確定增區(qū)間；

（2）求出，由得極值點滿足，可把化為的函數(shù)，由的取值范圍（由函數(shù)有兩個極值點得）可得結(jié)論．

（1），，

當時，，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；

當時，令，解得，則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間

上是增函數(shù).

綜上得：當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間；

當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.

（2）證明：由題意，，

因為有兩個相異極值點，，（）

所以，是方程的兩個實根，解得，

其中.故

令，其中.

故，在上單調(diào)遞減，

，即，

所以.