在直四棱住ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，底面是邊長為1的正方形，E、F、G分別是棱B1B、D1D、DA的中點．
（1）求證：平面AD1E∥平面BGF；
（2）求證：平面AEC⊥面AD1E．
證明：如圖，
（1）∵E，F(xiàn)分別是棱BB1，DD1中點，∴BE∥D1F且BE=D1F，
四邊形BED1F為平行四邊形，∴D1E∥BF，
又D1E?平面AD1E，BF?平面AD1E，∴BF∥平面AD1E；
又G是棱DA的中點，∴GF∥AD1，
又AD1?平面AD1E，GF?平面AD1E，∴GF∥平面AD1E；
又BF∩GF=F，
平面AD1E∥平面BGF；
（2）∵AA1=2，AD=1，∴AD1=
5
，
同理AE=
AB2+BE2
=
2
，D1E=BF=
BD2+DF2
=
3
，
∴AD12=D1E2+AE2，∴D1E⊥AE；
∵AC⊥BD，AC⊥D1D，∴AC⊥平面BD1，又D1E?平面BD1，∴AC⊥D1E，
又AC∩AE=A，AC?平面AEC，AE?平面AEC．所以D1E⊥平面AEC；
又D1E?平面AD1E，∴平面AEC⊥面AD1E．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知三棱錐P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分別為AC、PC的中點，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求證：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱錐P-ABC所成上、下兩部分的體積比．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，PB⊥底面ABCD．底面ABCD為直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=AD=PB，BC=2AD．點E在棱PA上，且PE=2EA．
（I）求證：CD⊥平面PBD；
（II）求二面角A-BE-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=2，O為AC的中點，PO⊥平面ABCD，PO=2，M為PD的中點，
（1）證明：AD⊥平面PAC；
（2）求直線AM與平面ABCD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，AO⊥平面α，點O為垂足，BC?平面α，BC⊥OB，若∠ABO=
π
4
，∠COB=
π
6
，則cos∠BAC=______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知某幾何體的三視圖如下圖所示，其中俯視圖為正三角形，設D為AA1的中點．
（Ⅰ）作出該幾何體的直觀圖并求其體積；
（Ⅱ）求證：平面BB1C1C⊥平面BDC1；
（Ⅲ）BC邊上是否存在點P，使AP∥平面BDC1？若不存在，說明理由；若存在，證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

作等腰直角三角形ABC的斜邊AB的中線CD，沿CD將△ABC折疊，使平面ACD⊥平面BCD，則折疊后AC與BC的夾角∠ACB的度數(shù)為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC與△A1B1C1都為正三角形且AA1⊥面ABC，F(xiàn)、F1分別是AC，A1C1的中點．
求證：
（1）平面AB1F1∥平面C1BF；
（2）平面AB1F1⊥平面ACC1A1．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若點P（-4，-2，3）關于坐標平面xoy及y軸的對稱點的坐標分別是（a，b，c）、（e，f，d），則c與e的和為（　�。�
A．7B．-7C．-1D．1

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