Question

已知函數(shù)f（x）=|xe^x+1|，若函數(shù)y=f²（x）+bf（x）+2恰有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（　　）

• A、(-∞，-2

  2

  )
• B、（-3，-2）
• C、（-∞，-3）
• D、(-3，-2

  2

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）=|xe^x+1|是分段函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)分析得到函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，在（-∞，-1）上為增函數(shù)，在（-1，0）上為減函數(shù)，求得函數(shù)f（x）在（-∞，0）上，當(dāng)x=-1時(shí)有一個(gè)最大值1，所以，要使方程f²（x）+bf（x）+2=0（t∈R）有四個(gè)實(shí)數(shù)根，f（x）的值一個(gè)要在（0，1）內(nèi)，一個(gè)在（1，+∞）內(nèi)，然后運(yùn)用二次函數(shù)的圖象及二次方程根的關(guān)系列式求解b的取值范圍．

解答： 解：f（x）=|xe^x+1|=

x•ex+1，x≥0 -x•ex+1，x＜0

，
當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）=e^x+1+xe^x+1≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)；
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）=-e^x+1-xe^x+1=-e^x+1（x+1），
由f′（x）=0，得x=-1，當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）=-e^x+1（x+1）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f′（x）=-e^x+1（x+1）＜0，f（x）為減函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）=|xe^x+1|的極大值為f（-1）=|（-1）e⁰|=1，
極小值為：f（0）=0，
令f（x）=m，由韋達(dá)定理得：m₁•m₂=1，m₁+m₂=-b，
此時(shí)若b＞0，則當(dāng)m₁＜0，且m₂＜0，
此時(shí)方程f²（x）+bf（x）+2=0（t∈R）至多有兩個(gè)實(shí)根，
若b＜0，則當(dāng)m₁＞0，且m₂＞0，
要使方程f²（x）+bf（x）+2=0（t∈R）有四個(gè)實(shí)數(shù)根，
則方程m²+bm+2=0應(yīng)有兩個(gè)不等根，
且一個(gè)根在（0，1）內(nèi)，一個(gè)根在（1，+∞）內(nèi)，
再令g（m）=m²+bm+2，
因?yàn)間（0）=1＞0，
則只需g（1）＜0，即b+3＜0，解得：b＜-3．
所以，使得函數(shù)f（x）=|xe^x+1|，方程f²（x）+bf（x）+2=0（t∈R）有四個(gè)實(shí)數(shù)根的t的取值范圍是（-∞，-3）．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，考查了利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，解答此題的關(guān)鍵是分析出方程f²（x）+bf（x）+2=0（t∈R）有四個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)f（x）的取值情況，此題屬于中高檔題．