【題目】已知離心率為 的橢圓 =1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F,過(guò)F且與x軸垂直的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn),|AB|= .
(1)求此橢圓的方程;
(2)已知直線y=kx+2與橢圓交于C、D兩點(diǎn),若以線段CD為直徑的圓過(guò)點(diǎn)E(﹣1,0),求k的值.
【答案】
(1)解:設(shè)焦距為2c,
∵e= = ,a2=b2+c2,
∴ = ;
∵|AB|= ,
∴2 = ,
解得,b=1,a= ;
故橢圓的方程為 +y2=1;
(2)解:將y=kx+2代入橢圓方程,
化簡(jiǎn)可得(1+3k2)x2+12kx+9=0,
由直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)知,
△=(12k)2﹣36(1+3k2)>0,
解得,k2>1;
設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2);
則x1+x2=﹣ ,x1x2= ;
若以線段CD為直徑的圓過(guò)點(diǎn)E(﹣1,0),
則 =0,
即(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,
而y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,
則(x1+1)(x2+1)+y1y2
=(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5
=(k2+1) ﹣(2k+1) +5=0,
解得,k= ,滿足k2>1;
故k= .
【解析】(1)設(shè)焦距為2c,結(jié)合e= = ,從而求橢圓的方程;(2)聯(lián)立方程化簡(jiǎn)可得(1+3k2)x2+12kx+9=0,再設(shè)C(x1 , y1),D(x2 , y2);從而可得x1+x2=﹣ ,x1x2= ;從而由平面向量化簡(jiǎn)可得(k2+1) ﹣(2k+1) +5=0,從而解得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減,且f(-1)=0,則不等式(x-1)f(x-1)<0的解集是( 。
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某單位從一所學(xué)校招收某類(lèi)特殊人才,對(duì)位已經(jīng)選拔入圍的學(xué)生進(jìn)行運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力和邏輯思維能力的測(cè)試,其測(cè)試結(jié)果如下表:
例如,表中運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力良好且邏輯思維能力一般的學(xué)生有人.由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失,只知道從這位參加測(cè)試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位,抽到運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率為.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)從參加測(cè)試的位學(xué)生中任意抽取位,求其中至少有一位運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率;
(III)從參加測(cè)試的位學(xué)生中任意抽取位,設(shè)運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|≤ ),其圖象與直線y=﹣1相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為π.若f(x)>1對(duì)任意x∈(﹣ , )恒成立,則φ的取值范圍是( )
A.[ , ]
B.[ , ]
C.[ , ]
D.( , ]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,若實(shí)數(shù)a滿足f(log2a)+f()≤2f(1),則a的取值范圍是( 。
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=,若g(x)=f(x)-a恰好有3個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍為( 。
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
恰好有3個(gè)零點(diǎn), 等價(jià)于的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),
作出的圖象,根據(jù)數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.
恰好有3個(gè)零點(diǎn),
等價(jià)于有三個(gè)根,
等價(jià)于的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),
作出的圖象,如圖,
由圖可知,
當(dāng)時(shí),的圖象有三個(gè)交點(diǎn),
即當(dāng)時(shí),恰好有3個(gè)零點(diǎn),
所以,的取值范圍是,故選D.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與分段函數(shù)的性質(zhì),屬于難題. 函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題以及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題是高考的高頻考點(diǎn),考生需要對(duì)初高中階段學(xué)習(xí)的十幾種初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對(duì)稱(chēng)性非常熟悉;另外,函數(shù)零點(diǎn)的幾種等價(jià)形式:函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)在軸的交點(diǎn)方程的根函數(shù)與的交點(diǎn).
【題型】單選題
【結(jié)束】
13
【題目】設(shè)集合A={0,log3(a+1)},B={a,a+b}若A∩B={1},則b=______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱中,,,點(diǎn)在線段上.
(1)若是中點(diǎn),證明:平面;
(2)當(dāng)時(shí),求直線與平面所成角的正弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)且滿足,求的取值范圍.
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