【題目】己知橢圓: 上動點PQ,O為原點;
(1)若,求證:為定值;
(2)點,若,求證:直線過定點;
(3)若,求證:直線為定圓的切線;
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)證明見解析
【解析】
(1)設,由題意可知,將代入橢圓方程,求得,利用直線的斜率公式,即可求證為定值;
(2)將直線方程代入橢圓方程,利用韋達定理及直線的斜率公式,即可求得的值,則直線過定點;
(3)設,則方程為:,分別代入橢圓方程,利用韋達定理及三角形的性質(zhì),到直線的距離為定值,即可求得直線為定圓
的切線,再驗證中有一個斜率不存在的情況即可.
證明:(1)由題意可知:設,
,
由在橢圓上,則,
代入得:
整理得:,
則
∴為定值;
(2)易知,直線的斜率存在,設其方程為,設,
,消去,整理得,
則 ,
由,且直線的斜率均存在,
,整理得,
因為,
所以,
整理得,
.
解得,或(舍去).
∴直線恒過定點;
(3)當斜率都存在時,
設方程為:,,
則方程為:,
聯(lián)立,可得:,
,
同理可得:
則到直線的距離,即為斜邊上的高,
,(定值).
當的斜率有一個不存在時,
此時直線為連接長軸和短軸端點的一條直線,方程為,
圓心到其距離為,
綜合得:直線為定圓的切線.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】折紙與數(shù)學有著千絲萬縷的聯(lián)系,吸引了人們的廣泛興趣.因紙的長寬比稱為白銀分割比例,故紙有一個白銀矩形的美稱.現(xiàn)有一張如圖1所示的紙,.
分別為的中點,將其按折痕折起(如圖2),使得四點重合,重合后的點記為,折得到一個如圖3所示的三棱錐.記為的中點,在中,為邊上的高.
(1)求證:平面;
(2)若分別是棱上的動點,且.當三棱錐的體積最大時,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,且acos C+asin C-b-c=0.
(1)求A;
(2)若AD為BC邊上的中線,cos B=,AD=,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F的直線l與C交于A,B兩點,點M的坐標為(﹣1,0).
(1)當l與x軸垂直時,求△ABM的外接圓方程;
(2)記△AMF的面積為S1,△BMF的面積為S2,當S1=4S2時,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點Q是圓上的動點,點,若線段QN的垂直平分線MQ于點P.
(I)求動點P的軌跡E的方程
(II)若A是軌跡E的左頂點,過點D(-3,8)的直線l與軌跡E交于B,C兩點,求證:直線AB、AC的斜率之和為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】年,在慶祝中華人民共和國成立周年之際,又迎來了以“創(chuàng)軍人榮耀,筑世界和平”為宗旨的第七屆世界軍人運動會.據(jù)悉,這次軍運會將于年月日至日在美麗的江城武漢舉行,屆時將有來自全世界多個國家和地區(qū)的近萬名軍人運動員參賽.相對于奧運會、亞運會等大型綜合賽事,軍運會或許對很多人來說還很陌生.為此,武漢某高校為了在學生中更廣泛的推介普及軍運會相關知識內(nèi)容,特在網(wǎng)絡上組織了一次“我所知曉的武漢軍運會”知識問答比賽,為便于對答卷進行對比研究,組委會抽取了名男生和名女生的答卷,他們的考試成績頻率分布直方圖如下:
(注:問卷滿分為分,成績的試卷為“優(yōu)秀”等級)
(1)從現(xiàn)有名男生和名女生答卷中各取一份,分別求答卷成績?yōu)椤皟?yōu)秀”等級的概率;
(2)求列聯(lián)表中,,,的值,并根據(jù)列聯(lián)表回答:能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“答卷成績?yōu)閮?yōu)秀等級與性別有關”?
男 | 女 | 總計 | |
優(yōu)秀 | |||
非優(yōu)秀 | |||
總計 |
(3)根據(jù)男、女生成績頻率分布直方圖,對他們的成績的優(yōu)劣進行比較.
附:參考公式:,其中.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)若函數(shù)的圖像在點處的切線與直線平行,求實數(shù)的值;
(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅲ)若在函數(shù)定義域內(nèi),總有成立,試求實數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對在直角坐標系的第一象限內(nèi)的任意兩點,作如下定義:,那么稱點是點的“上位點”,同時點是點的“下位點”.
(1)試寫出點的一個“上位點”坐標和一個“下位點”坐標;
(2)設、、、均為正數(shù),且點是點的上位點,請判斷點是否既是點的“下位點”又是點的“上位點”,如果是請證明,如果不是請說明理由;
(3)設正整數(shù)滿足以下條件:對任意實數(shù),總存在,使得點既是點的“下位點”,又是點的“上位點”,求正整數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設等差數(shù)列的公差,前項和為,且滿足,
(1)試尋找一個等差數(shù)列和一個非負常數(shù),使得等式對于任意的正整數(shù)恒成立,并說明你的理由;
(2)對于(1)中的等差數(shù)列和非負常數(shù),試求()的最大值.
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