Question

【題目】設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為（﹣1，0）.

（1）當l與x軸垂直時，求△ABM的外接圓方程；

（2）記△AMF的面積為S1，△BMF的面積為S2，當S1＝4S2時，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】（1）x2+y2﹣2x﹣3＝0；（2）xy+1

【解析】

（1）由題意求出，的坐標，設圓的一般方程，將，，坐標代入圓的方程求出參數，即求出圓的方程；（2）由題意得面積之比為縱坐標的絕對值之比，求出坐標的關系，代入拋物線方程，求出的方程．

（1）由題意得：焦點F（1，0），

當l與x軸垂直時，l的方程：x＝1，代入拋物線得A（1，2），B（1，﹣2），

而M（﹣1，0）設△ABMD的外接圓的方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，

所以：解得：D＝﹣2，E＝0，F＝﹣3，

所以△ABM的外接圓方程：x2+y2﹣2x﹣3＝0；

（2）由題意的直線l的斜率不為零，設直線l的方程：x＝my+1，A（x，y），B（x'，y'），

設A在x軸上方，聯立拋物線的方程可得y2﹣4my﹣4＝0，y+y'＝4m，

由題意知：y＝﹣4y'，

∴y'，代入直線得x'1，B在拋物線上，

所以：（）2﹣4（1）＝0，解得m，

所以直線l的方程：xy+1.