【題目】折紙與數(shù)學(xué)有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系,吸引了人們的廣泛興趣.因紙的長(zhǎng)寬比稱為白銀分割比例,故紙有一個(gè)白銀矩形的美稱.現(xiàn)有一張如圖1所示的紙,.
分別為的中點(diǎn),將其按折痕折起(如圖2),使得四點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為,折得到一個(gè)如圖3所示的三棱錐.記為的中點(diǎn),在中,為邊上的高.
(1)求證:平面;
(2)若分別是棱上的動(dòng)點(diǎn),且.當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
(1)通過(guò)證明,可得到平面ACD;
(2)因?yàn)?/span>且三棱錐的高為定值,所以當(dāng)最大時(shí),三棱錐的體積取得最大值,由此可確定M,N 兩點(diǎn)為AB,BC的中點(diǎn),接著通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系求解,可得到本題答案.
(1)連接.設(shè),
則,翻折后的.
在中,,,為的中點(diǎn),
∴.又∵在中,,
∴為的中點(diǎn),∴.
∵平面,平面,
∴平面.
(2)∵且三棱錐的高為定值,
∴最大時(shí),三棱錐的體積取得最大值.
設(shè),所以
又∵為定值,∴當(dāng)時(shí),最大,即三棱錐的體積最大.此時(shí)分別是上的中點(diǎn),
由(1)可得,,∴.
∵,,∴.
以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
,
.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為.
∴,∴
取,則,∴平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為.
∴,∴
取,則,
∴平面的一個(gè)法向量為.
則.
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某射手射擊1次,擊中目標(biāo)的概率是0.9,他連續(xù)射擊4次,且各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒(méi)有影響,有下列結(jié)論:
①他第3次擊中目標(biāo)的概率是0.9;
②他恰好擊中目標(biāo)3次的概率是;
③他至少擊中目標(biāo)1次的概率是;
④他至多擊中目標(biāo)1次的概率是
其中正確結(jié)論的序號(hào)是( )
A.①②③B.①③
C.①④D.①②
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,,上下頂點(diǎn)分別為,,左、右焦點(diǎn)分別為,,離心率為e.
(1)若,設(shè)四邊形的面積為,四邊形的面積為,且,求橢圓C的方程;
(2)若,設(shè)直線與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),分別為線段,的中點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上,且,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程是,求函數(shù)在上的值域;
(2)當(dāng)時(shí),記函數(shù),若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】經(jīng)過(guò)多年的努力,炎陵黃桃在國(guó)內(nèi)乃至國(guó)際上逐漸打開(kāi)了銷路,成為炎陵部分農(nóng)民脫貧致富的好產(chǎn)品.為了更好地銷售,現(xiàn)從某村的黃桃樹(shù)上隨機(jī)摘下了100個(gè)黃桃進(jìn)行測(cè)重,其質(zhì)量分布在區(qū)間內(nèi)(單位:克),統(tǒng)計(jì)質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出其頻率分布直方圖如圖所示:
(1)按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在,的黃桃中隨機(jī)抽取5個(gè),再?gòu)倪@5個(gè)黃桃中隨機(jī)抽2個(gè),求這2個(gè)黃桃質(zhì)量至少有一個(gè)不小于400克的概率;
(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平,以頻率代表概率,已知該村的黃桃樹(shù)上大約還有100000個(gè)黃桃待出售,某電商提出兩種收購(gòu)方案:
A.所有黃桃均以20元/千克收購(gòu);
B.低于350克的黃桃以5元/個(gè)收購(gòu),高于或等于350克的以9元/個(gè)收購(gòu).
請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算為該村選擇收益最好的方案.
(參考數(shù)據(jù):)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓心在軸上,半徑為2的圓位于軸右側(cè),且與直線相切.
(1)求圓的方程;
(2)在圓上,是否存在點(diǎn),使得直線與圓相交于不同的兩點(diǎn),且的面積最大?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān),如果當(dāng)()時(shí)該命題成立,則可得時(shí)該命題也成立,若已知時(shí)命題不成立,則下列說(shuō)法正確的是______(填序號(hào))
(1)時(shí),該命題不成立;
(2)時(shí),該命題不成立;
(3)時(shí),該命題可能成立;
(4)時(shí),該命題可能成立也可能不成立,但若時(shí)命題成立,則對(duì)任意,該命題都成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列四個(gè)命題中真命題是
A. 同垂直于一直線的兩條直線互相平行
B. 底面各邊相等,側(cè)面都是矩形的四棱柱是正四棱柱
C. 過(guò)空間任一點(diǎn)與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條
D. 過(guò)球面上任意兩點(diǎn)的大圓有且只有一個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】己知橢圓: 上動(dòng)點(diǎn)PQ,O為原點(diǎn);
(1)若,求證:為定值;
(2)點(diǎn),若,求證:直線過(guò)定點(diǎn);
(3)若,求證:直線為定圓的切線;
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