Question

【題目】對(duì)在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)的任意兩點(diǎn)，作如下定義:,那么稱點(diǎn)是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”，同時(shí)點(diǎn)是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”.

（1）試寫出點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)”坐標(biāo)和一個(gè)“下位點(diǎn)”坐標(biāo)；

（2）設(shè)、、、均為正數(shù)，且點(diǎn)是點(diǎn)的上位點(diǎn)，請(qǐng)判斷點(diǎn)是否既是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”又是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”，如果是請(qǐng)證明，如果不是請(qǐng)說明理由；

（3）設(shè)正整數(shù)滿足以下條件：對(duì)任意實(shí)數(shù)，總存在，使得點(diǎn)既是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”，又是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”，求正整數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）“上位點(diǎn)”，“下位點(diǎn)”；（2）是，證明見解析；（3）.

【解析】

（1）由已知中“上位點(diǎn)”和“下位點(diǎn)”的定義，可得出點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)”的坐標(biāo)為，一個(gè)“下位點(diǎn)”的坐標(biāo)為；

（2）由點(diǎn)是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”得出，然后利用作差法得出與、的大小關(guān)系，結(jié)合“下位點(diǎn)”和“上位點(diǎn)”的定義可得出結(jié)論；

（3）結(jié)合（2）中的結(jié)論，可得，，滿足條件，再說明當(dāng)時(shí)，不成立，可得出的最小值為.

（1）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)的任意兩點(diǎn)作如下定義：，那么稱點(diǎn)是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”，同時(shí)點(diǎn)是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”.

點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)”的坐標(biāo)為，一個(gè)“下位點(diǎn)”的坐標(biāo)為；

（2）點(diǎn)是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”，，.

，

點(diǎn)是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”，

，

點(diǎn)是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”；

（3）若正整數(shù)滿足條件：在時(shí)恒成立.

由（2）中的結(jié)論可知，，時(shí)滿足條件.

若，由于，

則不成立.

因此，的最小值為.