【題目】如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,∠D=60°,點(diǎn)H為DC邊中點(diǎn),現(xiàn)以線段AH為折痕將△DAH折起使得點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置且平面PHA⊥平面ABCH,點(diǎn)E,F分別為AB,AP的中點(diǎn).
(1)求證:平面PBC∥平面EFH;
(2)若三棱錐P﹣EFH的體積等于,求a的值.
【答案】(1)見解析;(2)a=2
【解析】
(1)分別證明EH∥平面PBC和EF∥平面PBC,再由EF∩EH=E,即可證明結(jié)論;
(2)根據(jù)條件求出AH,DH=PH=CH,然后證明PH⊥平面ABCH,又點(diǎn)F為AP的中點(diǎn),則S△PEF=S△AEF,故VH-PEF=VH-AEF,則,據(jù)此計(jì)算求解即可.
(1)證明:菱形ABCD中,∵E,H分別為AB,CD的中點(diǎn),∴BE∥CH,BE=CH,
∴四邊形BCHE為平行四邊形,則BC∥EH,又EH平面PBC,∴EH∥平面PBC,
又點(diǎn)E,F分別為AB,AP的中點(diǎn),則EF∥BP,又EF平面PBC,∴EF∥平面PBC,
由EF∩EH=E,∴平面EFH∥平面PBC;
(2)在菱形ABCD中,∠D=60°,則△ACD為正三角形,
∴AH⊥CD,AH,DH=PH=CH,
折疊后,PH⊥AH,又平面PHA⊥平面ABCH,平面PHA∩平面ABCH=AH,從而PH⊥平面ABCH.
在△PAE中,點(diǎn)F為AP的中點(diǎn),則S△PEF=S△AEF,∴VH-PEF=VH-AEF,
而VH-PEF+VH-AEF=VH-PAE,
∴
,
∴a3=8,即a=2.故a=2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,,,為的中點(diǎn),點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在線段上.
(1)求證:;
(2)若是正三角形,求三棱柱的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是( ).
①在中,若,則是等腰三角形;
②在中,若 ,則
③兩個(gè)向量,共線的充要條件是存在實(shí)數(shù),使
④等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù).
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著科技的發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購(gòu)是非常方便的購(gòu)物方式,為了了解網(wǎng)購(gòu)在我市的普及情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有關(guān)網(wǎng)購(gòu)的調(diào)查問(wèn)卷,并從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取了男女各100人進(jìn)行分析,從而得到表(單位:人)
經(jīng)常網(wǎng)購(gòu) | 偶爾或不用網(wǎng)購(gòu) | 合計(jì) | |
男性 | 50 | 100 | |
女性 | 70 | 100 | |
合計(jì) |
(1)完成上表,并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購(gòu)與性別有關(guān)?
(2)①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人,再?gòu)倪@10人中隨機(jī)選取3人贈(zèng)送優(yōu)惠券,求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的概率;
②將頻率視為概率,從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取10人贈(zèng)送禮品,記其中經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差.
參考公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性.
(2)是否存在實(shí)數(shù),對(duì)任意的,且,恒成立?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為實(shí)數(shù))的圖像在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù),證明時(shí), .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若存在最大值,證明:;
(2)函數(shù),且只有一個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍,并證明:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù),其中,是的一個(gè)極值點(diǎn),且.
(1)討論的單調(diào)性
(2)求實(shí)數(shù)和a的值
(3)證明
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