Question

已知過點M（1，0）的直線交橢圓C：x²+3y²=6于A，B兩點．
（1）求弦AB中點的軌跡方程；
（2）若F為橢圓C的左焦點，求△ABF面積的最大值．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用點差法，可求弦AB中點的軌跡方程；
（2）設直線AB方程為x=my+1，代入x²+3y²=6中，利用韋達定理，求出△ABF面積，換元，再求△ABF面積的最大值．

解答： 解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中點（x，y），則
∵過點M（1，0）的直線交橢圓C：x²+3y²=6于A，B兩點，
∴x₁²+3y₁²=6，x₂²+3y₂²=6，
兩式相減可得2x（x₁-x₂）+6y（y₁-y₂）=0，
∴

y1-y2

x1-x2

=-

x

3y

，
∵弦AB的斜率為

y

x-1

，
∴

y

x-1

=-

x

3y

，
化簡可得弦AB中點軌跡方程為x²+3y²-x=0．
（2）設直線AB方程為x=my+1，代入x²+3y²=6中，化簡得(m2+3)y2+2my-5=0，于是y1+y2=

-2m

m2+3

，y1y2=

-5

m2+3

．
又S△ABF=S△AMF+S△BMF=

1

2

|AF||y1-y2|，F(xiàn)（-2，0）
∴S2=

9

4

(y1-y2)2=

27(2m2+5)

(m2+3)2

=-27[

1

(m2+3)2

-

2

m2+3

]．
令t=

1

m2+3

，則0＜t≤

1

3

．S2=-27(t2-2t)=-27(t-1)2+27．
∴t=

1

3

時，S有最大值，最大值為

15

．

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的應用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．