Question

已知函數(shù)：f（x）=

x+1-a

a-x

（a∈R且x≠a）．
（1）證明：f（x）+2+f（2a-x）=0對(duì)定義域內(nèi)所有x都成立；
（2）若函數(shù)g（x）=x²+|（x-a）f（x）|在[a，a+1]的最小值為4，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將f（x）和f（2a-x）代入整理即可，
（2）將x分區(qū)間進(jìn)行討論，通過找到單調(diào)區(qū)間求最值．

解答： 解（1）證明：f(x)+2+f(2a-x)=

x+1-a

a-x

+2+

2a-x+1-a

a-2a+x

=

x+1-a

a-x

+2+

a-x+1

x-a

=

x+1-a+2a-2x-a+x-1

a-x

=0
∴命題得證．                                          
（2）g（x）=x²+|x+1-a|（x≠a）
1）當(dāng)x≥a-1且x≠a時(shí)，g(x)=x2+x+1-a=(x+

1

2

)2+

3

4

-a
如果a-1≥-

1

2

即a≥

1

2

時(shí)，
則函數(shù)在[a-1，a）和（a，+∞）上單調(diào)遞增
g(x)min=g(a-1)=(a-1)2
如果a-1＜-

1

2

即當(dāng)a＜

1

2

且a≠-

1

2

時(shí)，g(x)min=g(-

1

2

)=

3

4

-a
當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，g（x）最小值不存在；
2）當(dāng)x≤a-1時(shí)g(x)=x2-x-1+a=(x-

1

2

)2+a-

5

4

如果a-1＞

1

2

即a＞

3

2

時(shí)g(x)min=g(

1

2

)=a-

5

4

如果a-1≤

1

2

即a≤

3

2

時(shí)g(x)在(-∞，a-1)上為減函數(shù)g(x)min=g(a-1)=(a-1)2，
當(dāng)a＞

3

2

時(shí)(a-1)2-(a-

5

4

)=(a-

3

2

)2＞0，當(dāng)a＜

1

2

時(shí)(a-1)2-(

3

4

-a)=(a-

1

2

)2＞0
綜合得：當(dāng)a＜

1

2

且a≠-

1

2

時(shí)  g（x）最小值是

3

4

-a
當(dāng)

1

2

≤a≤

3

2

時(shí) g（x）最小值是（a-1）²； 
當(dāng)a＞

3

2

時(shí) g（x）最小值為a-

5

4

當(dāng)a=-

1

2

時(shí)  g（x）最小值不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，恒等式的證明，求單調(diào)區(qū)間，求最值問題，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．