Question

某研究性學(xué)習(xí)小組對春季晝夜溫差大小與某花卉種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行研究，他們分別記錄了3月1日至3月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：

日    期	3月1日	3月2日	3月3日	3月4日	3月5日
溫差x（°C）	10	11	13	12	8
發(fā)芽數(shù)y（顆）	23	25	30	26	16

（Ⅰ）從3月1日至3月5日中任選2天，記發(fā)芽的種子數(shù)分別為m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率．
（Ⅱ）若選取的是3月1日與3月5日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)3月2日至3月4日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a；
（Ⅲ）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（Ⅱ）中所得的線性回歸方程是否可靠？
（參考公式：回歸直線的方程是y=bx+a，其中b=

n i=1 xiyi-n? x ? y

n i=1 xi 2-n x2

，a=

y

-b

x

）

Answer 1

考點(diǎn)：可線性化的回歸分析

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）本題是一個(gè)等可能事件的概率，列舉法確定試驗(yàn)發(fā)生包含的事件結(jié)果，滿足條件的事件是事件“m，n均不小于25”的只有3個(gè)，根據(jù)概率公式得到結(jié)果．
（II）先求出橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均值，即得到樣本中心點(diǎn)，利用最小二乘法得到線性回歸方程的系數(shù)，根據(jù)樣本中心點(diǎn)在線性回歸直線上，得到a的值，得到線性回歸方程．
（III）根據(jù)第二問所求的線性回歸方程，預(yù)報(bào)兩個(gè)變量對應(yīng)的y的值，與檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差是1，滿足題意，被認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的．

解答：解：（Ⅰ）m，n的所有取值情況有：（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），即基本事件總數(shù)為10．
設(shè)“m，n均不小于25”為事件A，則事件A包含的基本事件為（25，30），（25，26），（30，26）．
所以P（A）=0.3，故事件A的概率為0.3．….3
（Ⅱ）由數(shù)據(jù)，求得

.

x

=

1

3

(11+13+12)=12，

.

y

=

1

3

(25+30+26)=27，3

.

x

.

y

=972.

3

i=1

XiYi=11×25+13×30+12×26=977，

3

i=1

X

2 i

=112+132+122=434，3

.

x

2=432．
由公式，求得b=

n i=1 xiyi-n• . x • . y

n i=1 xi2-n . x 2

=

977-972

434-432

=

5

2

，a=

.

y

-b

.

x

=27-

5

2

×12=-3．
所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=

5

2

x-3．….8
（Ⅲ）當(dāng)x=10時(shí)，y=

5

2

×10-3=22，|22-23|＜2；
同樣，當(dāng)x=8時(shí)，y=

5

2

×8-3=17，|17-16|＜2．
所以，該研究所得到的線性回歸方程是可靠的． ….14

點(diǎn)評：本題考查等可能事件的概率，考查求線性回歸方程，并且用線性回歸方程來預(yù)報(bào)y的值，從而得到預(yù)報(bào)值與檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差，得到線性回歸方程是否可靠．