【題目】已知f(x)=xlnx,g(x)=﹣x2+ax﹣3. (Ⅰ)求函數(shù)f(x)在[t,t+1](t>0)上的最小值;
(Ⅱ)對一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)證明:對一切x∈(0,+∞),都有l(wèi)nx> 成立.

【答案】解:(Ⅰ)∵f′(x)=lnx+1, 當(dāng)x∈(0, ),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈( ,+∞),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
,即0<t< 時,f(x)min= ,f(x)min=f(t)=tlnt
,即t 時,f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞增,f(x)min=f(t)=tlnt,

(Ⅱ)2xlnx≥﹣x2+ax﹣3,則 ,
設(shè)h(x)=2lnx+x+ ,x>0,則h′(x)= ,
①x∈(0,1),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,
②x∈(1,+∞),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,
∴h(x)min=h(1)=4,對一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,
∴a≤4.
(Ⅲ)問題等價于證明xlnx> ,
由(Ⅰ)可知f(x)=xlnx,(x∈(0,+∞))的最小值是- ,當(dāng)且僅當(dāng)x= 時取到,
設(shè)m(x)=xlnx> ,則 ,
易知 ,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取到,
從而對一切x∈(0,+∞),都有都有l(wèi)nx> 成立
【解析】(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在某區(qū)間的最小值,先求該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),再判斷單調(diào)性,因?yàn)閠是參數(shù),要進(jìn)行分類討論;(Ⅱ)求實(shí)數(shù)a的取值范圍,2f(x)≥g(x)恒成立,就是求函數(shù)的最值問題,(Ⅲ)本題設(shè)m(x)=xlnx> ,也是求m(x)=xlnx的最值問題.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣4ax+b(a>0)在區(qū)間[0,1]上有最大值1和最小值﹣2.
(1)求a,b的值;
(2)若不等式f(x)≥mx在x∈(0,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中點(diǎn),PA⊥底面ABCD,PA=2. (Ⅰ)證明:平面PBE⊥平面PAB;
(Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】以邊長為的正三角形的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),另外兩個頂點(diǎn)在拋物線,過拋物線的焦點(diǎn)的直線過交拋物線兩點(diǎn).

1)求拋物線的方程;

2求證 為定值;

3)求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】近年來,福建省大力推進(jìn)海峽西岸經(jīng)濟(jì)區(qū)建設(shè),福州作為省會城市,在發(fā)展過程中,交通狀況一直倍受有關(guān)部門的關(guān)注,據(jù)有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示上午6點(diǎn)到10點(diǎn),車輛通過福州市區(qū)二環(huán)路某一路段的用時y(分鐘)與車輛進(jìn)入該路段的時刻t之間關(guān)系可近似地用如下函數(shù)給出:y= .求上午6點(diǎn)到10點(diǎn),通過該路段用時最多的時刻.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+aex , 若f′(x)≥2 恒成立,則a的取值范圍為(
A.[3,+∞)
B.(0,3]
C.[﹣3,0)
D.(﹣∞,﹣3]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了引導(dǎo)居民合理用電,國家決定實(shí)行合理的階梯電價,居民用電原則上以住宅為單位(一套住宅為一戶).

階梯級別

第一階梯

第二階梯

第三階梯

月用電范圍(度)

(0,210]

(210,400]

某市隨機(jī)抽取10戶同一個月的用電情況,得到統(tǒng)計(jì)表如下:

居民用電戶編號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

用電量(度)

53

86

90

124

132

200

215

225

300

410

若規(guī)定第一階梯電價每度0.5元,第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元,第三階梯超出第二階梯的部分每度0.8元,試計(jì)算A居民用電戶用電410度時應(yīng)電費(fèi)多少元?

現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3戶,求取到第二階梯電量的戶數(shù)的分布列與期望;

以表中抽到的10戶作為樣本估計(jì)全市的居民用電,現(xiàn)從全市中依次抽取10戶,若抽到戶用電量為第一階梯的可能性最大,求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),求該幾何體的體積和表面積.(V圓錐體= Sh,V圓柱體=Sh)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;

2)令,區(qū)間, 為自然對數(shù)的底數(shù)。

)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的兩個極值分別為,

求證: .

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案