【題目】如圖所示,四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中點,PA⊥底面ABCD,PA=2. (Ⅰ)證明:平面PBE⊥平面PAB;
(Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的余弦值.

【答案】證明:(I)連接BD, ∵四邊形ABCD是菱形,∠BCD=60°,
∴△BCD是等邊三角形,
∵E是CD的中點,∴BE⊥CD,
∵CD∥AB,∴BE⊥AB.
∵PA⊥平面ABCD,BE平面ABCD,
∴PA⊥BE,又PA平面PAB,AB平面PAB,PA∩AB=A,
∴BE⊥平面PAB,又BE平面PBE,
∴平面PBE⊥平面PAB.
(II)設AC∩BD=O,以OB所在直線為x軸,以OC所在直線為y軸,
以平面ABCD過O的垂線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
則A(0,﹣ ,0),B( ,0,0),C(0, ,0),D(﹣ ,0,0),
P(0,﹣ ,2),E(﹣ ,0),
=(0,0,2), =(﹣ , ,0), =(﹣ , ,0), =(﹣ ,﹣ ,2).
設平面PAD的法向量為 =(x1 , y1 , z1),平面PBE的法向量為 =(x2 , y2 , z2),
,
,
令x1= =( ,1,0),令x2=1得 =(1, ,1).
∴cos< , >= = =
∵平面PAD和平面PBE所成二面角為銳角,
∴平面PAD和平面PBE所成二面角的余弦值為

【解析】(I)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出BE⊥AB,由PA⊥平面ABCD得出PA⊥BE,故而BE⊥平面PAB,于是結(jié)論得證;(II)設AC,BD交點為O,以O為原點建立坐標系,求出兩個平面的法向量 ,則|cos< >|即為所求.

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【題目】設函數(shù) .若曲線在點處的切線方程為為自然對數(shù)的底數(shù)).

1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)若關于的不等式在(0,+)上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知關于的不等式.

(1)當時,解不等式;

(2)如果不等式的解集為空集,求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】設函數(shù),曲線在點處的切線與直線垂直(其中為自然對數(shù)的底數(shù))。

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(Ⅱ)求證:當時,不等式。

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【題目】已知f(x)=x2﹣ax,g(x)=lnx,h(x)=f(x)+g(x)
(1)若f(x)≥g(x)對于公共定義域內(nèi)的任意x恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)設h(x)有兩個極值點x1 , x2 , 且x1∈(0, ),若h(x1)﹣h(x2)>m恒成立,求實數(shù)m的最大值.

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(Ⅱ)已知點A(0,1)和直線l:y=x+m,線段AB是橢圓E的一條弦且直線l垂直平分弦AB,求實數(shù)m的值.

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【題目】已知甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā),并沿同一路線(假定為直線)行駛.甲車、乙車的速度曲線分別為V和V(如圖所示).那么對于圖中給定的t0和t1 , 下列判斷中一定正確的是(
A.在t1時刻,甲車在乙車前面
B.t1時刻后,甲車在乙車后面
C.在t0時刻,兩車的位置相同
D.t0時刻后,乙車在甲車前面

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知f(x)=xlnx,g(x)=﹣x2+ax﹣3. (Ⅰ)求函數(shù)f(x)在[t,t+1](t>0)上的最小值;
(Ⅱ)對一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)證明:對一切x∈(0,+∞),都有l(wèi)nx> 成立.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù) .

(1)當時,

①求曲線在點處的切線方程;

②求函數(shù)在區(qū)間上的值域.

(2)對于任意,都有,求實數(shù)的取值范圍.

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