【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣4ax+b(a>0)在區(qū)間[0,1]上有最大值1和最小值﹣2.
(1)求a,b的值;
(2)若不等式f(x)≥mx在x∈(0,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)=ax2﹣4ax+b(a>0)=a(x﹣2)2+b﹣4a,

∵a>0,開口向上,對稱軸x=2,

∴f(x)在[0,1]遞減,

∴f(0)=b=1,f(1)=b﹣3a=﹣2,

∴a=b=1;


(2)解:∵f(x)=x2﹣4x+1≥mx在x∈(0,+∞)上恒成立,

在x∈(0,+∞)上恒成立,

∵雙勾函數(shù)y=x+ 在(0,1]遞減,在[1,+∞)遞增,

∴當(dāng)x=1時(shí),x﹣4+ 取得最小值,且為2﹣4=﹣2,

則m≤﹣2.


【解析】(1)求得f(x)的對稱軸方程,可得f(x)在[0,1]遞減,即可得到最值,解方程可得a,b的值;(2)由題意可得 在x∈(0,+∞)上恒成立,運(yùn)用對號函數(shù)的單調(diào)性,可得右邊函數(shù)的最小值,即可得到m的范圍.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解函數(shù)的最值及其幾何意義(利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值;利用圖象求函數(shù)的最大(。┲担焕煤瘮(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲),還要掌握二次函數(shù)的性質(zhì)(當(dāng)時(shí),拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時(shí),拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

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1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)若關(guān)于的不等式在(0,+)上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知關(guān)于的不等式.

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(Ⅱ)求證:當(dāng)時(shí),不等式。

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(Ⅲ)證明:對一切x∈(0,+∞),都有l(wèi)nx> 成立.

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