Question

【題目】已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）若函數(shù)在點處的切線的斜率為，求實數(shù)的值；

（2）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）當時，單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為；（3）

【解析】

（1）由，得出，利用，解得；

（2），，令，解得：或0， 對分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性；

（3）由于在區(qū)間上恒成立，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，即當時，，設(shè)，則，構(gòu)造函數(shù)，通過對分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求出實數(shù)的取值范圍.

（1）解：由于，，

，

因為函數(shù)在點處的切線的斜率為，

所以，

解得：.

（2）解：依題意知，，

令，解得：或0，

當時，令，得或，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，

當時，令，得，

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（3）解：由于在區(qū)間上恒成立，

即在區(qū)間上恒成立，

依題意，當時，，

即當時，，

設(shè)，

則，

設(shè)，

則，

①當時，

當時，，從而，

所以在區(qū)間為上單調(diào)遞增，

又∵，

當時，，從而時，，

所以在區(qū)間為上單調(diào)遞減，

又∵，

從而當時，，

即，

于是當時，；

②當時，令，得，

∴，

當時，，

∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，

又∵，

當時，，

從而當時，，

∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，

又∵，

從而當時，，

即，不合題意，

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.