【題目】某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖中（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺銹最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方向構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺銹越漂亮，向按同樣的規(guī)律刺銹（小正方形的擺放規(guī)律相同），設第個圖形包含個小正方形

（1）求的值

（2）求出的表達式

（3）求證：當時，

【答案】（1）61（2）f（n）=2n2﹣2n+1；（3）見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)列舉法找規(guī)律，得到的值；（2）同樣根據(jù)列舉法找規(guī)律 ，根據(jù)累加法得到的表達式；（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，代入可得，利用累加法求和，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性證明不等式.

試題解析：解：（1）f（1）=1，f（2）=1+4=5，

f（3）=1+4+8=13，f（4）=1+4+8+12=25，

f（5）=1+4+8+12+16=41．f（6）=1+4+8+12+16+20=61；

（2）∵f（2）﹣f（1）=4=4×1，

f（3）﹣f（2）=8=4×2，

f（4）﹣f（3）=12=4×3，

f（5）﹣f（4）=16=4×4，

由上式規(guī)律得出f（n+1）﹣f（n）=4n．

∴f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1），

f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=4（n﹣2），

f（n﹣2）﹣f（n﹣3）=4（n﹣3），

…

f（2）﹣f（1）=4×1，

∴f（n）﹣f（1）=4[（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1]

=2（n﹣1）n，

∴f（n）=2n2﹣2n+1；

（2）證明：當n≥2時，==（﹣），

∴+++…+=1+（1﹣+﹣+…+﹣）

=1+（1﹣）=﹣．

由于g（n）=﹣為遞增數(shù)列，

即有g（n）≥g（1）=1，

且g（n）＜，

則+++…+＜成立．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義：在數(shù)列中，若為常數(shù)）則稱為“等方差數(shù)列”，下列是對“等方差數(shù)列”的有關判斷（ ）

①若是“等方差數(shù)列”，在數(shù)列 是等差數(shù)列；

②是“等方差數(shù)列”；

③若是“等方差數(shù)列”，則數(shù)列為常）也是“等方差數(shù)列”；

④若既是“等方差數(shù)列”又是等差數(shù)列，則該數(shù)列是常數(shù)數(shù)列.

其中正確命題的個數(shù)為( )

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在人群流量較大的街道，有一中年人吆喝“送錢”，只見他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黃色、3只白色的乒乓球（其體積、質(zhì)地完成相同），旁邊立著一塊小黑板寫道：

摸球方法：從袋中隨機摸出3個球，若摸得同一顏色的3個球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的3個球，摸球者付給攤主1元錢．

（1）摸出的3個球為白球的概率是多少？

（2）摸出的3個球為2個黃球1個白球的概率是多少？

（3）假定一天中有100人次摸獎，試從概率的角度估算一下這個攤主一個月（按30天計）能賺多少錢？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】20名同學參加某次數(shù)學考試成績（單位：分）的頻率分布直方圖如下：

（Ⅰ）求頻率分布直方圖中的值；

（Ⅱ）分別求出成績落在， 中的學生人數(shù)；

（Ⅲ）從成績在的學生中任選2人，求此2人的成績都在中的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

已知曲線的極坐標方程是，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）．

（1）求曲線的直角坐標方程和直線的的普通方程；

（2）設點，若直線與曲線交于兩點，且，求實數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝x，則函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點個數(shù)是( )

A．多于4個 B．4個

C．3個 D．2個

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)．

（1）當時，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當時，若函數(shù)在上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在常數(shù)，使函數(shù)和函數(shù)在公共定義域上具有相同的單調(diào)性？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在某校舉行的航天知識競賽中，參與競賽的文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績分布在，分數(shù)在以上（含）的同學獲獎. 按文理科用分層抽樣的方法抽取人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖（見下圖）.

（1）求的值，并計算所抽取樣本的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）填寫下面的列聯(lián)表，能否有超過的把握認為“獲獎與學生的文理科有關”？

文科生

理科生

合計

獲獎

不獲獎

合計

附表及公式：

，其中

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝cos xsin 2x，下列結(jié)論中正確的是________(填入正確結(jié)論的序號).

①y＝f(x)的圖象關于點(2π，0)中心對稱；

②y＝f(x)的圖象關于直線x＝π對稱；

③f(x)的最大值為；

④f(x)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù).

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