Question

設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在拋物線上．設(shè)動直線與拋物線相切于點(diǎn)，且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，以為直徑的圓記為圓．
（1）求的值；
（2）證明：圓與軸必有公共點(diǎn)；
（3）在坐標(biāo)平面上是否存在定點(diǎn)，使得圓恒過點(diǎn)？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）1   （2）見解析    （3）存在，

試題分析：（1）由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得FA的中點(diǎn)，由中點(diǎn)在拋物線上求得p的值；
（2）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，由直線和拋物線相切求得切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步求得Q的坐標(biāo)（用含k的代數(shù)式表示），求得PQ的中點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出圓心到x軸的距離，求出，由半徑的平方與圓心到x軸的距離的平方差的符號判斷圓C與x軸的位置關(guān)系；
（3）法一、假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，設(shè)出M的坐標(biāo)，結(jié)合（2）中求得的P，Q的坐標(biāo)，求出向量 的坐標(biāo)，由恒成立求解點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（1）利用拋物線的定義得，故線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入方程得，解得．
（2）由（1）得拋物線的方程為，從而拋物線的準(zhǔn)線方程為
由得方程，
由直線與拋物線相切，得      
且，從而，即，       
由，解得，         
∴的中點(diǎn)的坐標(biāo)為
圓心到軸距離，
 
∵ 
所圓與軸總有公共點(diǎn)．
（3）假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)滿足條件，由拋物線對稱性知點(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
由（2）知，
∴  。
由得，
所以，即或
所以平面上存在定點(diǎn)，使得圓恒過點(diǎn)．