已知A、B為拋物線C:y2 = 4x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A在第一象限,點(diǎn)B在第四象限l1、l2分別過(guò)點(diǎn)A、B且與拋物線C相切,P為l1、l2的交點(diǎn).
(1)若直線AB過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F,求證:動(dòng)點(diǎn)P在一條定直線上,并求此直線方程;
(2)設(shè)C、D為直線l1、l2與直線x = 4的交點(diǎn),求面積的最小值.
(1);(2)

試題分析:(1)設(shè), ),方程為,與拋物線方程聯(lián)立,利用直線與拋物線y2 = 4x相切,故,求,故切線的方程。同理可求得切線方程為,聯(lián)立得交點(diǎn),再注意到已知條件直線AB過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F,故表示直線AB的方程為,將拋物線焦點(diǎn)代入,得,從而發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為,故點(diǎn)P在定直線上;(2)列面積關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式,再求函數(shù)最小值即可,由已知得,,,故,又高為,故三角形的面積為,再求最小值即可.
(1)設(shè), ).
易知斜率存在,設(shè)為,則方程為.
得,        ①
由直線與拋物線相切,知.
于是,,方程為.
同理,方程為.
聯(lián)立、方程可得點(diǎn)坐標(biāo)為 ,
∵ ,方程為
過(guò)拋物線的焦點(diǎn).
,∴,點(diǎn)P在定直線上.
(2)由(1)知,的坐標(biāo)分別為,
.
∴ .   
設(shè)),
知,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
∴ .
設(shè),則.
∴ 時(shí),時(shí),.在區(qū)間上為減函數(shù);
在區(qū)間上為增函數(shù).∴ 時(shí),取最小值.
∴ 當(dāng),,
時(shí),面積取最小值.         13分
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn),線段的中點(diǎn)在拋物線上.設(shè)動(dòng)直線與拋物線相切于點(diǎn),且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn),以為直徑的圓記為圓
(1)求的值;
(2)證明:圓軸必有公共點(diǎn);
(3)在坐標(biāo)平面上是否存在定點(diǎn),使得圓恒過(guò)點(diǎn)?若存在,求出的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知拋物線的方程為,直線的方程為,點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線上.
(1)求拋物線的方程;
(2)已知,求過(guò)點(diǎn)及拋物線與軸兩個(gè)交點(diǎn)的圓的方程;
(3)已知,點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作圓的兩條切線,切點(diǎn)為A、B,.
(1)求拋物線E的方程;
(2)過(guò)拋物線E上的點(diǎn)N作圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為P、Q,若P,Q,O(O為原點(diǎn))三點(diǎn)共線,求點(diǎn)N的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知雙曲線C1與拋物線C2:y2=8x有相同的焦點(diǎn)F,它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)的交點(diǎn)為M,若雙曲線C1的焦距為實(shí)軸長(zhǎng)的2倍,則|MF|=________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

(3分)(2011•重慶)動(dòng)圓的圓心在拋物線y2=8x上,且動(dòng)圓恒與直線x+2=0相切,則動(dòng)圓必過(guò)點(diǎn)        

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)為,動(dòng)點(diǎn)在拋物線上,點(diǎn),則的最小值為(   )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知P是拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到直線l:2x-y+3=0與到y(tǒng)軸的距離之和的最小值是(  )
A.B.C.2 D.-1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方程是y=2,則a的值為( 。
A.B.C.8D.﹣8

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案