Question

如圖，三棱錐A-BCD中，E、F分別是棱AB、BC的中點(diǎn)，H、G分別是棱AD、CD上的點(diǎn)，且EH∩FG=K．求證：
（1）EH，BD，F(xiàn)G三條直線相交于同一點(diǎn)K；
（2）EF∥HG．

Answer 1

考點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)及推論,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）先證P為兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，利用兩個(gè)平面的公共點(diǎn)在兩個(gè)平面的公共直線上，證線共點(diǎn)；
（2）證明EF∥平面ACD，E，F(xiàn)，G，H，K共面于平面EFK，即可得證．

解答： 證明：（1）∵E、H分別是棱AB、AD上的點(diǎn)，
∴EH?平面ABD-------1’
又∵EH∩FG=K，∴K∈EH，即K∈平面ABD-------2’
同理可證，K∈平面BCD--------3’
∵平面ABD∩平面BCD=BD∴K∈BD-----4’
即EH，BD，F(xiàn)G三條直線相交于同一點(diǎn)K．---------5’
（2）連接EF，HG（如圖），
∵在△ABC中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AC--------6’
∵EF?平面ACD，-----7’
∴EF∥平面ACD-----8’
又∵H，G分別是棱AD，CD的點(diǎn)，且EH∩FG=K，
∴E，F(xiàn)，G，H，K共面于平面EFK，
且平面EFK∩平面ACD=HG-------9’
故EF∥HG------10’

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用公理2證明點(diǎn)共線問(wèn)題，考查平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，考查了學(xué)生的空間想象能力和推理論證能力，本題較好的體現(xiàn)了線線、線面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化．