Question

如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別為AB、PC的中點，∠PDA=45°，AB=2，AD=1
（1）求證：MN∥平面PAD； 
（2）求證：平面PMC⊥平面PCD；
（3）求MN與BC所成角的大�。�

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取PD的中點E，連結(jié)AE、EN，證明四邊形AMNE是平行四邊形，可得MN∥AE，利用線面平行的判定，即可得出結(jié)論；
（2）證明CD⊥平面PAD，可得CD⊥AE，利用∠PDA=45°，E為PD中點，證明AE⊥PD，從而AE⊥平面PCD，利用MN∥AE，可得MN⊥平面PCD，從而平面PMC⊥平面PCD；
（3）確定∠DAE為異面直線BC與MN所成的角即可求解．

解答： （1）證明：如圖，取PD的中點E，連結(jié)AE、EN
則有EN∥CD∥AM，且EN=

1

2

CD=

1

2

AB=MA．
∴四邊形AMNE是平行四邊形．
∴MN∥AE．
∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD；
（2）證明：∵PA⊥矩形ABCD所在的平面，CD，AD?矩形ABCD所在的平面，
∴PA⊥CD，PA⊥AD，
∵CD⊥AD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
又∵AE?平面PAD，
∴CD⊥AE，
∵∠PDA=45°，E為PD中點
∴AE⊥PD，
 又∵PD∩CD=D，
∴AE⊥平面PCD，
∵M(jìn)N∥AE，
∴MN⊥平面PCD，
又∵M(jìn)N?平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD；                       
（3）解：∵M(jìn)N∥AE，BC∥AD，
∴∠DAE為異面直線BC與MN所成的角，
∵AE⊥平面PCD
∴AE⊥DE，
又AE=DE=

2

2

，∴∠DAE=45°，
∴異面直線BC與MN所成的角為45°．

點評：本題考查線面平行，面面垂直，考查線線角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．