Question

設(shè)函數(shù)f（x）＝x3－ax（a＞0），g（x）＝bx2＋2b﹣1．

（1）若曲線y＝f（x）與y＝g（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處有相同的切線，求實(shí)數(shù)a，b的值；

（2）當(dāng)b＝時(shí)，若函數(shù)h（x）＝f（x）＋g（x）在區(qū)間（﹣2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）當(dāng)a＝1，b＝0時(shí)，求函數(shù)h（x）＝f（x）＋g（x）在區(qū)間[t，t＋3]上的最小值．

 

Answer 1

（1）a＝，b＝；（2）（0，）；（3）[h（x）]min＝.

【解析】試題分析：（1）求出f'（x），g'（x），由題意得f（1）＝g（1），且f'（1）＝g'（1），解該方程組即可；（2）記h（x）＝f（x）＋g（x），當(dāng)a＝1－2b時(shí)，h（x）＝，利用導(dǎo)數(shù)可研究其單調(diào)性、極值情況，由函數(shù)在（－2，0）內(nèi)有兩零點(diǎn)可得端點(diǎn)處函數(shù)值及極值符號(hào)，由此得一不等式組，解出即可；（3）a＝1，b＝0時(shí)，h（x）＝f（x）＋g（x）＝，由（2）可知，函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，按照在區(qū)間[t，t＋3]內(nèi)沒有極值點(diǎn)，一個(gè)極值點(diǎn)，兩個(gè)極值點(diǎn)分類討論，結(jié)合圖象及函數(shù)的單調(diào)性即可求得其最大值

試題解析：（1）因?yàn)閒（x）＝，g（x）＝bx2＋2b﹣1，

所以f′（x）＝x2﹣a，g′（x）＝2bx．

因?yàn)榍�線y＝f（x）與y＝g（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處有相同切線，

所以f（1）＝g（1），且f′（1）＝g′（1）．

即－a＝b＋2b－1，且1﹣a＝2b，

解得a＝，b＝．

（2）當(dāng)a＝1﹣2b時(shí)，h（x）＝（a＞0），

所以h′（x）＝x2＋（1﹣a）x﹣a＝（x＋1）（x﹣a）．

令h′（x）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝a＞0．

當(dāng)x變化時(shí)，h′（x），h（x）的變化情況如下表：

x （﹣∞，﹣1） ﹣1 （﹣1，a） a （a，＋∞）

h′（x） ＋ 0 ﹣ 0 ＋

h（x） ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗

所以函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣1），（a，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣1，a）．

故h（x）在區(qū)間（﹣2，﹣1）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（﹣1，0）內(nèi)單調(diào)遞減．

從而函數(shù)h（x）在區(qū)間（﹣2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)

即解得：0<a<．

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，）．

（3）當(dāng)a＝1，b＝0時(shí)，h（x）＝．

所以函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣1），（1，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣1，1）．

由于h（－2）＝－，h（1）＝－，所以h（﹣2）＝h（1）．

①當(dāng)t＋3＜1，即t＜﹣2時(shí)，

[h（x）]min＝h（t）＝t3－t－1

②當(dāng)﹣2≤t＜1時(shí)，[h（x）]min＝h（1）＝－．

③當(dāng)t≥1時(shí)，h（x）在區(qū)間[t，t＋3]上單調(diào)遞增，[h（x）]min＝h（t）＝t3－t－1．

綜上可知，函數(shù)h（x）在區(qū)間[t，t＋3]上的最小值為

[h（x）]min＝.

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；函數(shù)的零點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值