【題目】已知橢圓的右焦點為,上頂點為,直線的斜率為,且原點到直線的距離為.

(1)求橢圓的標準方程;

(2)若不經(jīng)過點的直線與橢圓交于兩點,且與圓相切.試探究的周長是否為定值,若是,求出定值;若不是,請說明理由.

【答案】(1) (2) 的周長為定值.

【解析】

1)根據(jù)已知條件結(jié)合,即可求出標準方程;

2)直線與圓相切,圓心到直線的距離等于半徑,得出關(guān)系,直線與橢圓聯(lián)立,求出相交弦長,再用兩點間距離公式,求出長,求出 的周長,即可判定結(jié)論.

: (1)由題可知,則

直線的方程為,所以

聯(lián)立①②,解得,又,

所以橢圓的標準方程式為.

(2)因為直線與圓相切,

所以,即

設(shè),聯(lián)立

所以,

則由根與系數(shù)的關(guān)系可得

所以,

所以,

因為

同理,所以

所以的周長為定值.

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;; ;

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