【題目】已知數(shù)列,滿足(…).
(1)若,求的值;
(2)若且,則數(shù)列中第幾項最?請說明理由;
(3)若(n=1,2,3,…),求證:“數(shù)列為等差數(shù)列”的充分必要條件是“數(shù)列為等差數(shù)列且(n=1,2,3,…)”.
【答案】(1)(2)第8項最小,理由見解析(3)證明見解析
【解析】
(1)由可判斷是等差數(shù)列,則,進而利用等差數(shù)列性質求解即可;
(2)法一:利用數(shù)列的增減性進行判斷即可;
法二:求出的通項公式,利用均值不等式求最值,即可得到取等條件,進而求解;
(3)若數(shù)列為等差數(shù)列,設其公差為,說明數(shù)列為等差數(shù)列,由(…)推出(…);若數(shù)列為等差數(shù)列且(n=1,2,3,…),設公差為,轉化推出(…),說明數(shù)列為等差數(shù)列,結論得證
(1)由,可得,故是等差數(shù)列,
所以
(2)
當時,則,解得,
當時,則,解得,
故有,
所以數(shù)列中最小,即第8項最小
法二:由,
可知
(當且僅當,即時取等號)
所以數(shù)列中的第8項最小
(3)證明:若數(shù)列為等差數(shù)列,設其公差為,
則為常數(shù),
所以數(shù)列為等差數(shù)列,
由(…),
則,故(…)成立,故必要性成立;
若數(shù)列為等差數(shù)列且(n=1,2,3,…),設的公差為,
則(n=1,2,3,…),
又,故,
又,,故,
所以,故有,所以為常數(shù),
故數(shù)列為等差數(shù)列,故充分性成立,
綜上可得,“數(shù)列為等差數(shù)列”的充分必要條件是“數(shù)列為等差數(shù)列且(n=1,2,3,…)”
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項和為,且
()求數(shù)列的通項公式;
()若數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式;
()在()的條件下,設,問是否存在實數(shù)使得數(shù)列是單調遞增數(shù)列?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,平面為正三角形, 側面是邊長為的正方形,為的中點.
(1)求證平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)試判斷直線與平面的位置關系,并加以證明.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點為,上頂點為,直線的斜率為,且原點到直線的距離為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若不經(jīng)過點的直線與橢圓交于兩點,且與圓相切.試探究的周長是否為定值,若是,求出定值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,,求的值域;
(2)當時,求的最小值;
(3)是否存在實數(shù)、,同時滿足下列條件:① ;② 當的定義域為時,其值域為.若存在,求出、的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】空氣質量指數(shù)是反映空氣質量狀況的指數(shù),指數(shù)值越小,表明空氣質量越好,其對應關系如表:
指數(shù)值 | ||||||
空氣質量 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴重污染 |
如圖是某市10月1日—20日指數(shù)變化趨勢:
下列敘述正確的是( )
A.該市10月的前半個月的空氣質量越來越好
B.這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占
C.這20天中指數(shù)值的中位數(shù)略高于100
D.總體來說,該市10月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量差
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一幢高樓上安放了一塊高約10 米的 LED 廣告屏,一測量愛好者在與高樓底部同一水平線上的 C 處測得廣告屏頂端A 處的仰角為 31.80°,再向大樓前進 20 米到 D 處,測得廣告屏頂端 A 處的仰角為 37.38°(人的高度忽略不計).
(1)求大樓的高度(從地面到廣告屏頂端)(精確到 1 米);
(2)若大樓的前方是一片公園空地,空地上可以安放一些長椅,為使坐在其中一個長椅上觀看廣告屏最清晰(長 椅的高度忽略不計),長椅需安置在距大樓底部 E 處多遠?已知視角 ∠AMB( M 為觀測者的位置, B 為廣告屏 底部)越大,觀看得越清晰.
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