【題目】已知函數(shù)其中
(1)當時,求曲線在點處的切線方程;
(2)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若對于恒成立,求的最大值.
【答案】(1)(2)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.(3)
【解析】
(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義,求出切線斜率,由點斜式方程即可寫出切線方程;
(2)求出導數(shù),依據(jù)在上單調(diào)遞增,且,分別解不等式以及,即可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間;
(3)由題意得在上恒成立,設,用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性,求出最小值,可得.再設,求出函數(shù)的最大值,即為的最大值.
(1)由,得,
所以,.
所以曲線在點處的切線方程為.
(2)由,得.
因為,且 在上單調(diào)遞增,所以
由得,,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增 ,
由得,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
綜上,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.
(3)由,得在上恒成立.
設,
則.
由,得,().
隨著變化,與的變化情況如下表所示:
0 | |||
↘ | 極小值 | ↗ |
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
所以函數(shù)的最小值為.
由題意,得,即 .
設,則.
因為當時,; 當時,,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
所以當時,.
所以當,,即,時,有最大值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知動點P到直線的距離與到點的距離之比為.
(1)求動點P的軌跡;
(2)直線與曲線交于不同的兩點A,B(A,B在軸的上方):
①當A為橢圓與軸的正半軸的交點時,求直線的方程;
②對于動直線,是否存在一個定點,無論如何變化,直線總經(jīng)過此定點?若存在,求出該定點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】“公平正義”是社會主義和諧社會的重要特征,是社會主義法治理念的價值追求.“考試”作為一種公平公正選拔人才的有效途徑,正被廣泛采用.每次考試過后,考生最關心的問題是:自己的考試名次是多少?自已能否被錄取?能獲得什么樣的職位?
某單位準備通過考試(按照高分優(yōu)先錄取的原則)錄用名,其中個高薪職位和個普薪職位.實際報名人數(shù)為名,考試滿分為分. 考試后對部分考生考試成績進行抽樣分析,得到頻率分布直方圖如下:
試結合此頻率分布直方圖估計:
(1)此次考試的中位數(shù)是多少分(保留為整數(shù))?
(2)若考生甲的成績?yōu)?/span>280分,能否被錄取?若能被錄取,能否獲得高薪職位?(分數(shù)精確到個位,概率精確到千分位)
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【題目】如圖,已知在矩形中,為邊的中點,將沿直線折起到(平面)的位置,為線段的中點.
(1)求證:平面;
(2)已知,當平面平面時,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】已知直線過點,傾斜角為,在以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸的極坐標系中,曲線的方程為.
(1)寫出直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標方程;
(2)若直線與曲線相交于兩點,設點,求的值.
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【題目】已知橢圓的右焦點為,上頂點為,直線的斜率為,且原點到直線的距離為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若不經(jīng)過點的直線與橢圓交于兩點,且與圓相切.試探究的周長是否為定值,若是,求出定值;若不是,請說明理由.
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【題目】如圖,在正方體中,為棱的中點,動點在平面及其邊界上運動,總有,則動點的軌跡為( )
A.兩個點B.線段C.圓的一部分D.拋物線的一部分
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某省新課改后某校為預測2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況,從該校上一屆高三(1)班到高三(5)班隨機抽取50人,得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù),并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計圖.
(1)根據(jù)條形統(tǒng)計圖,估計本屆高三學生本科上線率.
(2)已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬,假設以(1)中的本科上線率作為甲市每個考生本科上線的概率.
(i)若從甲市隨機抽取10名高三學生,求恰有8名學生達到本科線的概率(結果精確到0.01);
(ii)已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬,假設該市每個考生本科上線率均為,若2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市,求p的取值范圍.
可能用到的參考數(shù)據(jù):取,.
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